星形计算器是什么？
星形多边形（比如我们最熟悉的五角星、犹太教的六角星等）由 n 个外尖点和 n 个内顶点组成：外尖点都落在半径为 R 的大圆上，内顶点则落在半径为 r 的小圆上。只需输入三个数值，本计算器就能算出星形所围成的面积、每条边的长度，以及整个星形的周长。
使用方法
填入角数 n（不小于 3）、外接半径 R（圆心到尖点的距离）和内接半径 r（圆心到两尖点之间凹谷的距离）。计算器会立即给出以平方单位表示的面积、单条斜边的长度，以及周长（星形共有 \(2n\) 条边）。
公式详解
整个星形可以切分成 \(2n\) 个完全相同的三角形，每个三角形对应的半角为 \(\frac{\pi}{n}\)，两条边分别为 \(R\) 和 \(r\)。每个三角形的面积是 \(\frac{1}{2}\cdot R\cdot r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\)，乘以 \(2n\) 个，就得到简洁的结果：
$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
连接半径为 \(R\) 的外尖点与相邻半径为 \(r\) 的内顶点（两者相差角度 \(\frac{\pi}{n}\)）的边长为 $$e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}$$ 周长则为 \(2n\cdot e\)。
示例演算
以一个经典的五角星为例，取 \(R = 10\)、\(r = 5\)：$$A = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36°) = 250 \cdot 0.587785 \approx 146.95$$ 平方单位。边长为 $$\sqrt{(10 - 5\cdot\cos 36°)^{2} + (5\cdot\sin 36°)^{2}} = \sqrt{(10 - 4.0451)^{2} + (2.9389)^{2}} \approx \sqrt{35.46 + 8.64} \approx 6.6408$$ 因此周长为 \(10 \cdot 6.6408 \approx 66.41\)。
常见问题
是否支持任意角数？ 支持——只要输入 \(n \geq 3\) 即可。当 \(n = 3\) 时，得到的就是一个三角星。
如果 R 和 r 相等会怎样？ 此时图形会变成一个正 \(2n\) 边形（不再有凹进去的谷），但面积公式依然成立。
使用什么单位？ 任意单位都可以，只要前后一致即可。例如 \(R\) 和 \(r\) 用厘米，那么面积就是平方厘米，周长就是厘米。
