¿Qué es la Calculadora de Estrellas?
Un polígono estrellado (la conocida estrella de 5 puntas, la estrella de David de 6 puntas, etc.) se forma con n puntas exteriores situadas sobre una circunferencia grande de radio R y n vértices interiores situados sobre una circunferencia pequeña de radio r. Esta calculadora obtiene el área que encierra, la longitud de cada lado y el perímetro total de la estrella con solo tres datos.
Cómo usarla
Introduce el número de puntas n (3 o más), el radio exterior R (del centro a la punta) y el radio interior r (del centro al valle entre dos puntas). La calculadora te devuelve al instante el área en unidades cuadradas, la longitud de uno de los lados inclinados y el perímetro (la estrella tiene \(2n\) lados).
La fórmula, explicada
La estrella se puede dividir en \(2n\) triángulos idénticos, cada uno con un semiángulo de \(\pi/n\) y lados \(R\) y \(r\). El área de cada triángulo es \(\tfrac{1}{2}\cdot R\cdot r\cdot\sin(\pi/n)\), y como hay \(2n\) de ellos, se obtiene este resultado compacto:
$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$El lado que une una punta exterior de radio \(R\) con el vértice interior contiguo de radio \(r\) (desfasado un ángulo \(\pi/n\)) mide \(e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}\), y el perímetro es \(2n\cdot e\).
Ejemplo resuelto
Para una estrella clásica de 5 puntas con \(R = 10\) y \(r = 5\):
$$A = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36°) = 250 \cdot 0{,}587785 \approx 146{,}95$$unidades cuadradas. La longitud del lado es
$$\sqrt{\left(10 - 5\cdot\cos 36°\right)^{2} + \left(5\cdot\sin 36°\right)^{2}} = \sqrt{\left(10 - 4{,}0451\right)^{2} + \left(2{,}9389\right)^{2}} \approx \sqrt{35{,}46 + 8{,}64} \approx 6{,}6408$$por lo que el perímetro es \(10 \cdot 6{,}6408 \approx 66{,}41\).
Preguntas frecuentes
¿Funciona con cualquier número de puntas? Sí, introduce cualquier \(n \ge 3\). Con \(n = 3\) obtienes una estrella de tres puntas.
¿Qué pasa si R y r son iguales? La figura se convierte en un polígono regular de \(2n\) lados (sin valles cóncavos), y la fórmula del área sigue siendo válida.
¿Qué unidades utiliza? Cualquier unidad, siempre que sea coherente. Si \(R\) y \(r\) están en centímetros, el área estará en centímetros cuadrados y el perímetro en centímetros.
