星形計算ツールとは？
星形多角形（スターポリゴン）とは、おなじみの5本星や、六芒星（ダビデの星）などのことです。大きな円（半径R）の上に並ぶn個の外側の頂点と、小さな円（半径r）の上に並ぶn個の内側の頂点（へこみ）から構成されます。この計算ツールでは、たった3つの入力値だけで、星形が囲む面積、各辺の長さ、そして周囲の長さを求められます。
使い方
頂点の数 \(n\)（3以上）、外接半径 \(R\)（中心から頂点の先端まで）、内接半径 \(r\)（中心から2つの頂点の間のへこみまで）を入力します。すると、面積（平方単位）、斜めに走る1辺の長さ、そして周囲の長さ（星形には辺が\(2n\)本あります）が瞬時に表示されます。
計算式の解説
星形は、\(2n\)個の合同な三角形に分割できます。それぞれの三角形は、半角が\(\frac{\pi}{n}\)で、辺の長さが\(R\)と\(r\)になっています。1つの三角形の面積は \(\frac{1}{2}\cdot R\cdot r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\) で、それが\(2n\)個あるため、次のすっきりとした式が得られます。
$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
半径\(R\)の外側の頂点と、角度\(\frac{\pi}{n}\)だけずれた隣の半径\(r\)の内側の頂点を結ぶ辺の長さは $$e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}$$ となり、周囲の長さは \(2n\cdot e\) です。
計算例
\(R = 10\)、\(r = 5\) の典型的な5本星の場合：$$A = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36^\circ) = 250 \cdot 0.587785 \approx 146.95$$ 平方単位 となります。辺の長さは $$\sqrt{(10 - 5\cdot\cos 36^\circ)^{2} + (5\cdot\sin 36^\circ)^{2}} = \sqrt{(10 - 4.0451)^{2} + (2.9389)^{2}} \approx \sqrt{35.46 + 8.64} \approx 6.6408$$ なので、周囲の長さは \(10 \cdot 6.6408 \approx 66.41\) です。
よくある質問
頂点の数は何本でも計算できますか？ はい。\(n \geq 3\) であれば任意の値を入力できます。\(n = 3\) なら3本星になります。
Rとrが等しい場合はどうなりますか？ へこみのない正\(2n\)角形になりますが、面積の公式はそのまま使えます。
単位は何を使いますか？ 一貫していればどんな単位でも構いません。\(R\)と\(r\)をセンチメートルで入力すれば、面積は平方センチメートル、周囲の長さはセンチメートルで表示されます。
