Công cụ tính hình ngôi sao là gì?
Đa giác sao (như ngôi sao 5 cánh quen thuộc, ngôi sao David 6 cánh, v.v.) được tạo nên từ n đỉnh ngoài nằm trên một đường tròn lớn bán kính R và n đỉnh trong nằm trên một đường tròn nhỏ bán kính r. Công cụ này giúp bạn tính diện tích phần bao kín, độ dài mỗi cạnh và tổng chu vi của ngôi sao chỉ từ ba thông số đầu vào.
Cách sử dụng
Nhập số cánh n (từ 3 trở lên), bán kính ngoài R (khoảng cách từ tâm đến đầu mũi cánh) và bán kính trong r (khoảng cách từ tâm đến điểm lõm giữa hai cánh). Công cụ sẽ lập tức cho ra diện tích theo đơn vị vuông, độ dài một cạnh xiên và chu vi (ngôi sao có \(2n\) cạnh).
Giải thích công thức
Ngôi sao có thể được chia thành \(2n\) tam giác giống hệt nhau, mỗi tam giác có góc nửa bằng \(\pi/n\) với hai cạnh \(R\) và \(r\). Diện tích mỗi tam giác là \(\tfrac{1}{2}\cdot R\cdot r\cdot\sin(\pi/n)\), và có tất cả \(2n\) tam giác, cho ra kết quả gọn gàng:
$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
Cạnh nối từ một đỉnh ngoài ở bán kính \(R\) đến đỉnh trong kế bên ở bán kính \(r\) (lệch một góc \(\pi/n\)) có độ dài $$e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}$$ và chu vi bằng \(2n\cdot e\).
Ví dụ minh họa
Với một ngôi sao 5 cánh cổ điển có \(R = 10\) và \(r = 5\): $$A = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36°) = 250 \cdot 0{,}587785 \approx 146{,}95$$ đơn vị vuông. Độ dài cạnh là $$\sqrt{(10 - 5\cdot\cos 36°)^{2} + (5\cdot\sin 36°)^{2}} = \sqrt{(10 - 4{,}0451)^{2} + (2{,}9389)^{2}} \approx \sqrt{35{,}46 + 8{,}64} \approx 6{,}6408$$ do đó chu vi là \(10 \cdot 6{,}6408 \approx 66{,}41\).
Câu hỏi thường gặp
Công cụ có dùng được cho mọi số cánh không? Có — bạn nhập bất kỳ giá trị \(n \ge 3\) nào. Với \(n = 3\) bạn sẽ có ngôi sao ba cánh.
Nếu R và r bằng nhau thì sao? Hình sẽ trở thành một đa giác đều \(2n\) cạnh (không còn các điểm lõm), và công thức tính diện tích vẫn đúng.
Công cụ dùng đơn vị nào? Bất kỳ đơn vị nào miễn là nhất quán. Nếu \(R\) và \(r\) tính bằng xăng-ti-mét thì diện tích tính bằng xăng-ti-mét vuông và chu vi tính bằng xăng-ti-mét.
