Calculateur d'étoile

Entrez le calcul

Nombre de branches (n)

Rayon extérieur (R)

Rayon intérieur (r)

Formule

Show calculation steps (1)

1. Star Perimeter

   

   Perimeter sums all 2n edges; each edge runs from an outer point to an adjacent inner vertex.

Résultats

Aire du polygone en étoile

146,95

unités carrées

Nombre de branches	5
Longueur d'un côté	6,6407
Périmètre	66,41

Qu'est-ce que le calculateur d'étoile ?

Un polygone en étoile (la célèbre étoile à 5 branches, l'étoile de David à 6 branches, etc.) se construit à partir de n pointes extérieures situées sur un grand cercle de rayon R et de n sommets intérieurs situés sur un petit cercle de rayon r. Ce calculateur détermine l'aire délimitée, la longueur de chaque côté et le périmètre total d'une telle étoile à partir de trois valeurs seulement.

Comment l'utiliser

Saisissez le nombre de branches n (3 ou plus), le rayon extérieur R (du centre jusqu'à la pointe) et le rayon intérieur r (du centre jusqu'au creux entre deux pointes). Le calculateur affiche aussitôt l'aire en unités carrées, la longueur d'un côté incliné et le périmètre (l'étoile compte \(2n\) côtés).

La formule expliquée

L'étoile peut se découper en \(2n\) triangles identiques, chacun couvrant un demi-angle de \(\pi/n\) avec des côtés \(R\) et \(r\). L'aire de chacun de ces triangles vaut \(\tfrac{1}{2}\cdot R\cdot r\cdot\sin(\pi/n)\), et comme il y en a \(2n\), on obtient ce résultat condensé :

$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

Le côté reliant une pointe extérieure (au rayon \(R\)) au sommet intérieur voisin (au rayon \(r\), décalé d'un angle \(\pi/n\)) a pour longueur $$e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}$$ et le périmètre est égal à \(2n\cdot e\).

L'aire de l'étoile équivaut à \(2n\) triangles congruents, ce qui se simplifie en \(A = n\cdot r\cdot R\cdot\sin(\pi/n)\).

Un polygone étoilé défini par son rayon extérieur \(R\) (jusqu'aux pointes) et son rayon intérieur \(r\) (jusqu'aux creux intérieurs), avec \(n\) pointes.

Exemple concret

Pour une étoile classique à 5 branches avec \(R = 10\) et \(r = 5\) : $$A = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36°) = 250 \cdot 0{,}587785 \approx 146{,}95$$ unités carrées. La longueur d'un côté vaut $$\sqrt{(10 - 5\cdot\cos 36°)^{2} + (5\cdot\sin 36°)^{2}} = \sqrt{(10 - 4{,}0451)^{2} + (2{,}9389)^{2}} \approx \sqrt{35{,}46 + 8{,}64} \approx 6{,}6408$$ donc le périmètre est \(10 \cdot 6{,}6408 \approx 66{,}41\).

FAQ

Cela fonctionne-t-il quel que soit le nombre de branches ? Oui — saisissez n'importe quel \(n \geq 3\). Avec \(n = 3\), vous obtenez une étoile à trois branches.

Et si R et r sont égaux ? La figure devient un polygone régulier à \(2n\) côtés (sans creux concaves), et la formule de l'aire reste valable.

Quelles unités sont utilisées ? N'importe quelle unité, du moment qu'elle est cohérente. Si \(R\) et \(r\) sont en centimètres, l'aire s'exprime en centimètres carrés et le périmètre en centimètres.