Калькулятор площади сегмента круга

Введите расчет

Радиус (r)

Центральный угол (θ)

Единица измерения угла Градусы Радианы

Результатов

Площадь сегмента круга

7,135

квадратных единиц

Центральный угол (радианы)	1,570796
Длина дуги	7,854
Длина хорды	7,0711
Сагитта (высота)	1,4645

Что такое сегмент круга?

Сегмент круга — это часть круга, «отсечённая» прямой линией (хордой). Это область, заключённая между хордой и стягиваемой ею дугой. Наш калькулятор находит площадь этого сегмента по радиусу круга и центральному углу, на который опирается хорда, а заодно показывает длину дуги, длину хорды и сагитту (наибольшую высоту сегмента).

Сегмент круга — это область между хордой и её дугой, задаваемая радиусом r и центральным углом θ.

Как пользоваться калькулятором

Введите радиус r круга и центральный угол θ. Укажите, в чём задан ваш угол — в градусах или радианах. Калькулятор автоматически переведёт градусы в радианы перед расчётом. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть площадь сегмента, а также длину дуги, длину хорды и высоту сегмента.

Разбор формулы

Площадь сегмента вычисляется так:

$$A = \frac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$

Здесь угол \(\theta\) должен быть выражен в радианах. Слагаемое \(\frac{1}{2}\,r^{2}\theta\) — это площадь кругового сектора (того самого «кусочка пирога»), а \(\frac{1}{2}\,r^{2}\sin\theta\) — площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Вычитая треугольник из сектора, мы получаем как раз сам сегмент. Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте значение на \(\frac{\pi}{180}\).

Площадь сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника: \(A = \frac{1}{2}r^{2}(\theta - \sin\theta)\).

Пример расчёта

Пусть \(r = 5\) и \(\theta = 90°\). Переводим угол: $$\theta = 90 \times \frac{\pi}{180} = 1{,}570796 \text{ рад}.$$ Тогда \(\sin\theta = \sin(90°) = 1\). Получаем: $$A = 0{,}5 \times 25 \times (1{,}570796 - 1) = 0{,}5 \times 25 \times 0{,}570796 = 7{,}13495$$ квадратной единицы. Длина хорды равна \(2 \times 5 \times \sin(45°) \approx 7{,}0711\), а сагитта составляет \(5 \times (1 - \cos 45°) \approx 1{,}4645\).

Частые вопросы

Угол и дуга — это одно и то же? Центральный угол \(\theta\) измеряется в центре круга между двумя радиусами, проведёнными к концам хорды. Длина дуги равна \(r\cdot\theta\) (при \(\theta\) в радианах).

Что, если мой угол больше 180°? Формула работает и для углов \(\theta\) вплоть до 360° (\(2\pi\)). При \(\theta > 180°\) она даёт площадь большего («главного») сегмента.

В каких единицах выражен ответ? Площадь измеряется в квадратах той единицы, в которой задан радиус: если \(r\) указан в см, то площадь будет в см².