타원 활꼴 넓이 계산기란?
이 범용 기하 계산기는 반장축 a(x축 방향)와 반단축 b(y축 방향)를 가진 타원을 다룹니다. 중심에서 측정한 두 극각 theta0과 theta1을 입력해 타원 위의 두 점을 지정하면 됩니다. 계산기는 타원 호와 두 점을 잇는 현으로 둘러싸인 활꼴의 넓이 S, 직선 현의 길이 c, 그리고 두 점 사이의 타원 호 길이 L을 한 번에 구해 줍니다.
사용 방법
반장축 a와 반단축 b, 시작각 theta0과 끝각 theta1을 입력하고, 각도 단위를 도(degree)와 라디안(radian) 중에서 선택하세요. 두 각은 같은 단위를 사용합니다. 여기서 말하는 각은 중심을 기준으로 한 극각(중심각)이며, 매개변수각(이심각)이 아닙니다. 따라서 점은 P(theta) = (r(theta)cos theta, r(theta)sin theta)로 표현되고, r(theta)는 그 방향으로 잰 중심에서 타원까지의 거리입니다.
계산에 쓰이는 공식
중심 반지름: r(theta) = sqrt(a^2 b^2 / (b^2 cos^2 theta + a^2 sin^2 theta)). r0 = r(theta0), r1 = r(theta1)이라 하면:
현의 길이: c = sqrt(r0^2 + r1^2 - 2 r0 r1 cos(theta1 - theta0)) (코사인 제2법칙).
활꼴 넓이: S = F(theta1) - F(theta0) - (r0 r1 / 2) sin(theta1 - theta0). 여기서 부채꼴 원시함수는 F(theta) = (a b / 2)[theta - atan(((b - a) sin 2theta)/(b + a + (b - a) cos 2theta))]입니다. 부채꼴에서 중심 삼각형을 빼면 활꼴이 남습니다.
호 길이: L은 타원 호의 길이로, ds = sqrt(r^2 + (dr/dtheta)^2) dtheta를 theta0부터 theta1까지 수치적으로 적분(합성 심프슨 공식, 2000구간)하여 구합니다. 이 값은 표시 정밀도 범위에서 제2종 불완전 타원적분과 일치합니다.
계산 예시
a = 3, b = 2, theta0 = 0도, theta1 = 90도인 경우: r0 = 3, r1 = 2입니다. 현 c = sqrt(9 + 4 - 0) = sqrt(13) = 3.6055512755. 부채꼴 넓이 = 타원의 1/4 = pi*a*b/4 = 1.5pi = 4.7123889804, 삼각형 = 3이므로 S = 1.7123889804. 1/4 타원 호 길이 L = 3.9663598973.
자주 묻는 질문
theta는 매개변수각인가요? 아닙니다. 중심을 기준으로 한 극각이므로 r(theta)는 중심에서 곡선까지의 실제 거리입니다.
a = b이면 어떻게 되나요? 타원이 원이 됩니다: L = a|theta1 - theta0|, S = (a^2/2)(|theta1 - theta0| - sin|theta1 - theta0|).
호 길이는 왜 수치적으로 계산하나요? 타원 호의 길이는 초등함수로 된 닫힌 형태의 식이 없습니다. 수치 적분을 사용하면 특수함수 라이브러리 없이도 여러 자릿수까지 정확하게 구할 수 있습니다.
