Qué hace la calculadora del área de un segmento de elipse
Esta herramienta de geometría universal trabaja sobre una elipse de semiejes \(a\) (en la dirección del eje x) y \(b\) (en la dirección del eje y). Tú eliges dos puntos indicando sus ángulos polares \(\theta_0\) y \(\theta_1\), medidos desde el centro. La calculadora te devuelve el área \(S\) del segmento elíptico delimitado por el arco de elipse y la cuerda que une ambos puntos, la longitud de la cuerda recta \(c\) y la longitud del arco elíptico \(L\) entre los dos puntos.
Cómo usarla
Introduce los semiejes \(a\) y \(b\), el ángulo inicial \(\theta_0\) y el ángulo final \(\theta_1\), y elige si los ángulos están en grados o en radianes. Ambos ángulos deben usar la misma unidad. Aquí el ángulo es la dirección polar (central), no el ángulo paramétrico (excéntrico), de modo que un punto se sitúa en \(P(\theta) = (r(\theta)\cos\theta,\, r(\theta)\sin\theta)\), donde \(r(\theta)\) es la distancia desde el centro hasta la elipse a lo largo de ese radio.
Las fórmulas
Radio central:
$$r(\theta) = \sqrt{\frac{a^2 b^2}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}}$$Con \(r_0 = r(\theta_0)\) y \(r_1 = r(\theta_1)\):
Cuerda:
$$c = \sqrt{r_0^2 + r_1^2 - 2\, r_0 r_1 \cos(\theta_1 - \theta_0)}$$(teorema del coseno).
Área del segmento:
$$S = F(\theta_1) - F(\theta_0) - \frac{r_0 r_1}{2}\sin(\theta_1 - \theta_0)$$donde la primitiva del sector es
$$F(\theta) = \frac{ab}{2}\left[\theta - \arctan\frac{(b-a)\sin 2\theta}{(b+a)+(b-a)\cos 2\theta}\right]$$Al restar el triángulo central al sector se obtiene el segmento.
Longitud del arco: \(L\) es la longitud del arco elíptico, calculada integrando numéricamente \(ds = \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2}\, d\theta\) desde \(\theta_0\) hasta \(\theta_1\) (regla de Simpson compuesta, 2000 pasos), lo que coincide con la integral elíptica incompleta de segunda especie hasta la precisión que se muestra.
Ejemplo resuelto
Para \(a = 3\), \(b = 2\), \(\theta_0 = 0\) grados, \(\theta_1 = 90\) grados: \(r_0 = 3\), \(r_1 = 2\). Cuerda \(c = \sqrt{9 + 4 - 0} = \sqrt{13} = 3.6055512755\). Área del sector = un cuarto de elipse = \(\pi a b / 4 = 1.5\pi = 4.7123889804\), triángulo \(= 3\), así que \(S = 1.7123889804\). La longitud del arco del cuarto de elipse es \(L = 3.9663598973\).
Preguntas frecuentes
¿Es \(\theta\) el ángulo paramétrico? No: es el ángulo polar desde el centro, por lo que \(r(\theta)\) es la distancia real desde el centro hasta la curva.
¿Qué ocurre si \(a = b\)? La elipse es una circunferencia: \(L = a|\theta_1 - \theta_0|\) y \(S = \frac{a^2}{2}(|\theta_1 - \theta_0| - \sin|\theta_1 - \theta_0|)\).
¿Por qué la longitud del arco es numérica? La longitud del arco elíptico no tiene una forma cerrada elemental; la integración numérica la reproduce con muchas cifras sin necesidad de una biblioteca de funciones especiales.
