원순열이란?
원순열은 서로 다른 n개의 물체를 원형으로 배열하는 서로 다른 경우의 수를 세는 것으로, 회전했을 때 겹치는 배열은 같은 것으로 봅니다. n개의 물체를 일렬로 늘어놓는 방법은 \(n!\)가지이지만, 원형 배열에서는 회전한 n개의 배열이 모두 같은 것으로 취급되므로, 서로 다른 원형 배열의 수는 \(n! / n = (n - 1)!\)가 됩니다. 이 계산기는 여러분이 지정한 구간 안의 모든 정수 n에 대해 \((n - 1)!\) 값을 표로 만들어 줍니다.
계산기 사용법
n의 시작값과 끝값(각각 1 이상 100 이하)을 입력한 다음, 표시할 유효숫자 자릿수를 선택하세요. 이 도구는 임의 정밀도 정수 연산으로 \((n - 1)!\)를 정확하게 계산한 뒤, 선택한 자릿수 안에 들어가면 전체 정수를 그대로 보여주고, 그렇지 않으면 과학적 표기법으로 반올림하여 표시합니다. 팩토리얼은 매우 빠르게 커지기 때문에, n이 큰 경우의 값은 \(8.84 \times 10^{30}\)처럼 표기됩니다.
공식 풀이
회전 대칭성을 없애기 위해 한 물체를 고정해 둡니다. 그러면 나머지 (n - 1)개의 물체를 배열하는 방법은 \((n - 1)!\)가지입니다.
$$P_c(n) = (n-1)! = \prod_{k=2}^{n-1} k \quad \text{for } n = \text{Start } n \ \text{to} \ \text{End } n$$바로 이것이 원순열의 수가 \(n!\)가 아니라 \((n - 1)!\)인 이유입니다. 단, 여기서는 거울에 비친 듯한 대칭(반사)은 같은 것으로 보지 않습니다. 따라서 이 값은 방향을 구분하는 표준적인 셈법이며, 반사까지 같은 것으로 보는 목걸이 순열 \((n - 1)! / 2\)와는 다릅니다.
계산 예시
n이 3부터 6까지일 때를 보면, n=3은 \(2! = 2\), n=4는 \(3! = 6\), n=5는 \(4! = 24\), n=6은 \(5! = 120\)입니다. 따라서 표에는 4개의 행이 생깁니다. 좀 더 큰 값으로, n=30이면 \(29! = 8{,}841{,}761{,}993{,}739{,}701{,}954{,}543{,}616{,}000{,}000\)으로 대략 \(8.84 \times 10^{30}\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 n=1과 n=2 모두 1이 나오나요? \(0! = 1\)이고 \(1! = 1\)이기 때문입니다. 물체가 하나뿐이거나 둘인 경우, 원형 배열은 각각 단 한 가지뿐입니다.
왜 과학적 표기법을 쓰나요? 99!는 약 156자리에 달해 전체 정수를 그대로 보면 읽기 어렵습니다. 유효숫자 설정은 화면 표시에만 영향을 줄 뿐, 내부의 정확한 계산에는 전혀 영향을 주지 않습니다.
반사된 배열은 같은 것으로 세나요? 아니요. 이 도구는 \((n - 1)!\)를 계산합니다. 반사까지 같은 것으로 본다면 경우의 수는 절반인 \((n - 1)! / 2\)가 됩니다.
