원순열이란?
원순열은 서로 다른 n개의 대상을 원형으로 배열할 때, 회전해서 겹치는 배열을 같은 것으로 보고 서로 다른 배열의 수를 세는 방법입니다. 한 줄로 늘어놓는 일반 순열(직선 배열)과 달리 원형 배열에는 정해진 시작점이 없습니다. 따라서 모두가 한 자리씩 왼쪽으로 옮겨 앉아도 동일한 배열로 간주됩니다. 이 계산기는 임의 정밀도 연산을 사용하므로 n이 커져도 \((n - 1)!\) 값을 오차 없이 정확하게 구해 줍니다.
계산기 사용법
서로 다른 대상의 개수 n(1 이상의 양의 정수, \(n \ge 1\))을 입력하면 원순열의 수가 바로 나옵니다. 예를 들어 n명을 원탁에 앉히는 경우의 수, 또는 방향이 고정된 고리에 서로 다른 구슬 n개를 배치하는 경우의 수가 \((n - 1)!\)입니다.
공식 풀이
서로 다른 n개의 직선 순열의 수는 \(n!\)입니다. 그런데 원형에서는 하나의 배열을 회전시키면 시작점에 따라 n가지 위치가 만들어지지만, 이들은 모두 같은 배열입니다. 따라서 직선 순열의 수를 이 n가지 회전으로 나누면 다음과 같습니다.
$$n! / n = (n - 1)!$$
참고: 이것은 표준 원순열입니다. 거울에 비친 것처럼 좌우(시계 방향과 반시계 방향)가 뒤집힌 배열은 서로 다른 것으로 간주합니다. 뒤집어도 같다고 보는 경우 — 양면을 뒤집을 수 있는 목걸이나 팔찌처럼 — \(n \ge 3\)일 때 경우의 수는 \((n - 1)! / 2\)가 됩니다.
예제 풀이
n = 5일 때: $$(5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$입니다. 즉, 서로 다른 5명이 원탁에 앉는 방법은 회전을 같은 것으로 볼 때 모두 24가지입니다.
자주 묻는 질문
n = 1이나 n = 2일 때 답은 얼마인가요? n = 1이면 \((1 - 1)! = 0! = 1\)입니다. n = 2이면 \((2 - 1)! = 1! = 1\)로, 두 개를 원형으로 놓으면 회전을 고려할 때 서로 다른 배열은 단 하나뿐입니다.
왜 빼지 않고 n으로 나누나요? 원형 배열 하나하나가 정확히 n가지의 직선 배열(회전마다 하나씩)에 대응하기 때문입니다. 그래서 전체 \(n!\)을 n으로 나누고, 이를 정리하면 \((n - 1)!\)이 됩니다.
목걸이나 팔찌의 경우의 수도 계산하나요? 아닙니다. 이 계산기는 표준 원순열 \((n - 1)!\)을 구합니다. 거울 대칭(뒤집기)까지 같은 것으로 보는 목걸이·팔찌의 경우의 수는 \(n \ge 3\)일 때 \((n - 1)! / 2\)를 사용합니다.
