Hoán vị vòng tròn là gì?
Hoán vị vòng tròn đếm số cách khác nhau để sắp xếp n đối tượng phân biệt quanh một vòng tròn, trong đó các cách sắp xếp chỉ khác nhau do xoay được coi là giống nhau. Khác với sắp xếp thành hàng (sắp xếp tuyến tính), vòng tròn không có điểm khởi đầu cố định, nên việc dịch chuyển tất cả mọi người sang trái một chỗ vẫn cho ra cùng một cách sắp xếp. Máy tính này trả về kết quả chính xác \((n - 1)!\), sử dụng số học độ chính xác tùy ý nên ngay cả những giá trị rất lớn cũng vẫn chính xác tuyệt đối.
Cách sử dụng máy tính
Nhập số đối tượng phân biệt n (một số nguyên dương, n ≥ 1) và bạn sẽ nhận ngay số hoán vị vòng tròn. Ví dụ, số cách xếp n người ngồi quanh một bàn tròn, hoặc số cách sắp xếp n hạt cườm phân biệt theo một chiều cố định trên vòng, đều bằng \((n - 1)!\).
Giải thích công thức
Số hoán vị tuyến tính của n đối tượng phân biệt là \(n!\). Trong một vòng tròn, mỗi cách sắp xếp duy nhất có thể được xoay thành n vị trí khác nhau nhưng tương đương (mỗi vị trí ứng với một đối tượng khởi đầu). Chia tổng số tuyến tính cho n lần xoay này ta được:
$$P_c = \left(\text{Objects } (n) - 1\right)! = \frac{n!}{n} = (n - 1)!$$Lưu ý: đây là hoán vị vòng tròn tiêu chuẩn. Nó không coi các hình phản chiếu qua gương (chiều kim đồng hồ so với ngược chiều kim đồng hồ) là giống nhau. Nếu cả phản chiếu cũng được coi là giống nhau — như với một chuỗi hạt hay vòng tay có thể lật — thì số cách sẽ là \((n - 1)! / 2\) với \(n \ge 3\).
Ví dụ minh họa
Với n = 5:
$$(5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$Vậy năm người phân biệt có thể được xếp ngồi quanh một bàn tròn theo 24 cách khác nhau, một khi đã coi các cách xoay là như nhau.
Câu hỏi thường gặp
Kết quả với n = 1 hoặc n = 2 là gì? Với n = 1, \((1 - 1)! = 0! = 1\). Với n = 2, \((2 - 1)! = 1! = 1\) — hai đối tượng trên một vòng tròn chỉ có duy nhất một cách sắp xếp nếu xét đến phép xoay.
Tại sao lại chia cho n thay vì trừ đi? Bởi vì mỗi cách sắp xếp vòng tròn tương ứng với đúng n cách sắp xếp tuyến tính tương đương (mỗi cách ứng với một phép xoay), nên ta chia tổng \(n!\) cho n, rút gọn lại thành \((n - 1)!\).
Công thức này có đếm chuỗi hạt hay vòng tay không? Không. Máy tính này tính hoán vị vòng tròn tiêu chuẩn \((n - 1)!\). Cách đếm chuỗi hạt/vòng tay vốn còn gộp cả các hình phản chiếu qua gương thì dùng \((n - 1)! / 2\) với \(n \ge 3\).
