Qu'est-ce qu'une permutation circulaire ?
Une permutation circulaire compte le nombre de façons distinctes de disposer n objets distincts autour d'un cercle lorsque les rotations d'un même arrangement sont considérées comme identiques. Contrairement à une rangée (un arrangement linéaire), un cercle n'a pas de point de départ fixe : décaler tout le monde d'une place vers la gauche donne donc le même arrangement. Ce calculateur renvoie le résultat exact, \((n - 1)!\), en utilisant une arithmétique en précision arbitraire, de sorte que même les grandes valeurs restent exactes.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre d'objets distincts n (un entier positif, \(n \ge 1\)) et lisez directement le nombre de permutations circulaires. Par exemple, le nombre de façons de placer n personnes autour d'une table ronde, ou de disposer n perles distinctes selon une orientation fixe en anneau, vaut \((n - 1)!\).
La formule expliquée
Le nombre de permutations linéaires de n objets distincts est \(n!\). Dans un cercle, chaque arrangement unique peut être pivoté pour occuper n positions différentes mais équivalentes (une pour chaque objet de départ possible). En divisant le décompte linéaire par ces n rotations, on obtient :
$$\frac{n!}{n} = (n - 1)!$$
À noter : il s'agit de la permutation circulaire standard. Elle ne considère pas les reflets en miroir (sens horaire et sens antihoraire) comme identiques. Si les reflets étaient eux aussi considérés comme identiques — comme pour un collier ou un bracelet que l'on peut retourner — le décompte serait \((n - 1)! / 2\) pour \(n \ge 3\).
Exemple résolu
Pour n = 5 :
$$(5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$Cinq personnes distinctes peuvent donc être placées autour d'une table ronde de 24 façons distinctes une fois les rotations considérées comme identiques.
FAQ
Quel est le résultat pour n = 1 ou n = 2 ? Pour n = 1, \((1 - 1)! = 0! = 1\). Pour n = 2, \((2 - 1)! = 1! = 1\) — deux objets en cercle n'admettent qu'un seul arrangement distinct à rotation près.
Pourquoi diviser par n plutôt que de soustraire ? Parce que chaque arrangement circulaire correspond exactement à n ordonnancements linéaires équivalents (un par rotation), on divise le total \(n!\) par n, ce qui se simplifie en \((n - 1)!\).
Ce calculateur compte-t-il les colliers ou les bracelets ? Non. Il calcule la permutation circulaire standard \((n - 1)!\). Les décomptes de colliers ou de bracelets, qui regroupent aussi les images en miroir, utilisent \((n - 1)! / 2\) pour \(n \ge 3\).
