वृत्तीय खंड क्या होता है?
वृत्तीय खंड (circular segment) किसी वृत्त का वह भाग होता है जो एक जीवा (वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा) और उस जीवा द्वारा काटे गए चाप के बीच घिरा रहता है। देखने में यह ऊपर से सपाट कटे हुए एक टुकड़े जैसा लगता है। यह खंड मूल वृत्त की त्रिज्या \(r\) और चाप के सामने बने केंद्रीय कोण \(\theta\) से परिभाषित होता है। यह कैलकुलेटर एक ही बार में हर महत्वपूर्ण मान दे देता है: जीवा की लंबाई, चाप की लंबाई, खंड की ऊँचाई (सजिटा), केंद्र से जीवा तक की दूरी, क्षेत्रफल और परिमाप।
इसका उपयोग कैसे करें
वृत्त की त्रिज्या दर्ज करें और उसकी लंबाई की इकाई चुनें (mm, cm, m, km, in, ft, yd या mi)। केंद्रीय कोण दर्ज करें और डिग्री या रेडियन में से कोई एक चुनें। कैलकुलेटर अंदरूनी रूप से सभी मानों को SI इकाइयों में बदलता है, ज्यामिति की गणना करता है, और लंबाइयाँ आपकी चुनी हुई इकाई में, क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में, तथा कोण रेडियन और डिग्री दोनों में दिखाता है। कोण का मान्य परास 0 से 360 डिग्री (0 से \(2\pi\) रेडियन) तक है; 180 डिग्री पर जीवा एक व्यास बन जाती है और खंड एक अर्धवृत्त बन जाता है।
सूत्रों की व्याख्या
जहाँ \(\theta\) रेडियन में है और \(r\) त्रिज्या है: जीवा \(c = 2r\cdot\sin(\theta/2)\), चाप \(s = r\cdot\theta\), ऊँचाई \(h = r(1 - \cos(\theta/2))\), केंद्र से जीवा तक की दूरी \(d = r\cdot\cos(\theta/2) = r - h\), और क्षेत्रफल \(A = (r^2/2)(\theta - \sin\theta)\) होता है। परिमाप बस \(P = c + s\) है। जब \(\theta\) 180 डिग्री से अधिक हो जाता है, तो क्षेत्रफल का सूत्र स्वतः बड़ा (मेजर) खंड वापस कर देता है, क्योंकि वहाँ \(\sin\theta\) ऋणात्मक हो जाता है।
हल किया गया उदाहरण
5 cm त्रिज्या और 90 डिग्री केंद्रीय कोण (\(\theta = 1.570796\) रेडियन) के लिए: जीवा $$c = 10\cdot\sin(0.785398) = 7.0711 \text{ cm}$$ चाप $$s = 5\cdot 1.570796 = 7.8540 \text{ cm}$$ ऊँचाई $$h = 5(1 - 0.707107) = 1.4645 \text{ cm}$$ अपोथेम \(d = 3.5355\) cm, क्षेत्रफल $$A = 12.5(1.570796 - 1) = 7.1350 \text{ cm}^2$$ और परिमाप \(P = 14.9250\) cm।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या खंड और त्रिज्यखंड (sector) एक ही होते हैं? नहीं। त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है (पाई के टुकड़े जैसा); जबकि खंड एक जीवा और एक चाप से घिरा होता है। खंड का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर मिलता है।
सजिटा क्या है? सजिटा खंड की ऊँचाई \(h\) होती है, यानी जीवा से चाप तक की सबसे अधिक लंबवत दूरी।
क्या कोण 180 डिग्री से अधिक हो सकता है? हाँ। 180 और 360 डिग्री के बीच के कोण मेजर खंड को दर्शाते हैं, और क्षेत्रफल का सूत्र इस स्थिति को सीधे संभाल लेता है।
