वलय (एन्युलस) क्या होता है?
वलय एक सपाट, छल्ले के आकार का क्षेत्र होता है जो दो संकेंद्रित (एक ही केंद्र वाले) वृत्तों के बीच घिरा रहता है: एक बाहरी वृत्त जिसकी त्रिज्या \(r_1\) है और एक छोटा भीतरी वृत्त जिसकी त्रिज्या \(r_2\) है (जहाँ \(r_1 > r_2\))। इन दोनों के बीच का पूरा हिस्सा ही वलय कहलाता है — इसे आप वॉशर, सीडी या किसी गोलाकार रनिंग ट्रैक के रूप में सोच सकते हैं। यह कैलकुलेटर आपके दिए गए किन्हीं दो ज्ञात मानों से रिंग के हर गुण की गणना कर देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से वह गणना चुनें जिसमें आपके पहले से ज्ञात दो मान शामिल हों (जैसे "given r1, r2" या "given A0, C1")। उन दोनों मानों को इनपुट फ़ील्ड में भरें, चाहें तो pi का मान बदल लें या प्रदर्शित होने वाली इकाई चुन लें, और यह तय करें कि उत्तर को कितने सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करना है। टूल आपको सातों मान लौटा देगा: दोनों त्रिज्याएँ (\(r_1\), \(r_2\)), दोनों परिधियाँ (\(C_1\), \(C_2\)), दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल (\(A_1\), \(A_2\)) और वलय का क्षेत्रफल \(A_0\)।
सूत्रों की समझ
\(r\) त्रिज्या वाले किसी वृत्त की परिधि \(C = 2\pi r\) होती है और क्षेत्रफल \(A = \pi r^2\)। $$C = 2\pi r, \quad A = \pi r^2$$ वलय का क्षेत्रफल बस बड़े वृत्त में से छोटे वृत्त को घटाकर मिलता है: $$A_0 = A_1 - A_2 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)$$ उल्टा हिसाब लगाने के लिए, परिधि से त्रिज्या \(r = C / (2\pi)\) निकलती है और वृत्त के क्षेत्रफल से \(r = \sqrt{A / \pi}\)। जब वलय का क्षेत्रफल किसी एक वृत्त-मान के साथ दिया जाता है, तो वह साथी मान पहले एक त्रिज्या तय कर देता है, और फिर दूसरी त्रिज्या \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\) से मिल जाती है। यानी हर मोड घूम-फिरकर एक ही अज्ञात राशि पर सिमट जाता है — कोई जुड़ी हुई एक साथ हल करने वाली समीकरणें नहीं रहतीं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(r_1 = 5\) और \(r_2 = 3\) (इकाई cm, \(\pi = 3.14159265359\)): $$C_1 = 2\pi(5) = 31.4159 \text{ cm}$$ $$C_2 = 2\pi(3) = 18.8496 \text{ cm}$$ $$A_1 = \pi(25) = 78.5398 \text{ cm}^2$$ $$A_2 = \pi(9) = 28.2743 \text{ cm}^2$$ $$A_0 = \pi(25 - 9) = \pi(16) = 50.2655 \text{ cm}^2$$
अधिक कार्यित उदाहरण
नीचे दिया गया प्रत्येक उदाहरण मानक वलय संबंधों का उपयोग करता है। दो दिए गए मात्राओं के साथ, \(C = 2\pi r\), \(A = \pi r^2\), और कुंडली क्षेत्र \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\) से हर दूसरी संपत्ति अनुसरण करती है। हम पूरे समय \(\pi = 3.14159265\) लेते हैं और परिणामों को 5 महत्वपूर्ण अंकों तक रिपोर्ट करते हैं।
उदाहरण 1 — बाहरी परिधि \(C_1\) और आंतरिक त्रिज्या \(r_2\) दिया गया (मोड c1r2)
मान लीजिए एक वलय की बाहरी परिधि \(C_1 = 40\text{ सेमी}\) और आंतरिक त्रिज्या \(r_2 = 5\text{ सेमी}\) है। पहले परिधि से बाहरी त्रिज्या पुनः प्राप्त करें:
$$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{40}{2\times 3.14159265} = 6.3662\text{ सेमी}$$
अब शेष छह आउटपुट की गणना करें:
- बाहरी त्रिज्या: \(r_1 = 6.3662\text{ सेमी}\)
- आंतरिक त्रिज्या: \(r_2 = 5\text{ सेमी}\)
- बाहरी परिधि: \(C_1 = 40\text{ सेमी}\) (दिया गया)
- आंतरिक परिधि: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 5 = 31.416\text{ सेमी}\)
- बाहरी वृत्त क्षेत्र: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 6.3662^2 = \)127.32\(\text{ सेमी}^2\)
- आंतरिक वृत्त क्षेत्र: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 5^2 = 78.540\text{ सेमी}^2\)
- कुंडली क्षेत्र: \(A_0 = A_1 - A_2 = 127.32 - 78.540 = \)48.784\(\text{ सेमी}^2\)
उदाहरण 2 — कुंडली क्षेत्र \(A_0\) और बाहरी त्रिज्या \(r_1\) दिया गया (मोड a0r1)
मान लीजिए कि सामग्री के वलय का कुंडली क्षेत्र \(A_0 = 60\text{ इंच}^2\) और बाहरी त्रिज्या \(r_1 = 8\text{ इंच}\) है। परिभाषित सूत्र के लिए आंतरिक त्रिज्या को हल करें:
$$r_2 = \sqrt{r_1^2 - \frac{A_0}{\pi}} = \sqrt{8^2 - \frac{60}{3.14159265}} = \sqrt{64 - 19.099} = \sqrt{44.901} = 6.7008\text{ इंच}$$
सात आउटपुट का पूरा सेट तब है:
- बाहरी त्रिज्या: \(r_1 = 8\text{ इंच}\) (दिया गया)
- आंतरिक त्रिज्या: \(r_2 = 6.7008\text{ इंच}\)
- बाहरी परिधि: \(C_1 = 2\pi r_1 = 2\times 3.14159265\times 8 = 50.265\text{ इंच}\)
- आंतरिक परिधि: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 6.7008 = 42.102\text{ इंच}\)
- बाहरी वृत्त क्षेत्र: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 8^2 = 201.06\text{ इंच}^2\)
- आंतरिक वृत्त क्षेत्र: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 6.7008^2 = 141.06\text{ इंच}^2\)
- कुंडली क्षेत्र: \(A_0 = 201.06 - 141.06 = 60\text{ इंच}^2\) (दिया गया, समाधान की पुष्टि करते हुए)
उदाहरण 3 — दोनों त्रिज्याएं \(r_1\) और \(r_2\) दी गई (मोड r1r2)
एक सपाट वाशर के लिए \(r_1 = 12\text{ मिमी}\) और \(r_2 = 7\text{ मिमी}\) के साथ, आउटपुट सीधे गणना की जाती है:
- बाहरी त्रिज्या: \(r_1 = 12\text{ मिमी}\)
- आंतरिक त्रिज्या: \(r_2 = 7\text{ मिमी}\)
- बाहरी परिधि: \(C_1 = 2\pi\times 12 = 75.398\text{ मिमी}\)
- आंतरिक परिधि: \(C_2 = 2\pi\times 7 = 43.982\text{ मिमी}\)
- बाहरी वृत्त क्षेत्र: \(A_1 = \pi\times 12^2 = 452.39\text{ मिमी}^2\)
- आंतरिक वृत्त क्षेत्र: \(A_2 = \pi\times 7^2 = 153.94\text{ मिमी}^2\)
- कुंडली क्षेत्र: \(A_0 = \pi\left(12^2 - 7^2\right) = \pi\times 95 = \)298.45\(\text{ मिमी}^2\)
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह इकाइयाँ बदलता है? नहीं। यहाँ इकाई सिर्फ़ एक प्रदर्शित लेबल है; यह मान लिया जाता है कि सभी इनपुट पहले से ही आपकी चुनी हुई एक ही लंबाई इकाई में हैं, और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में हैं।
\(r_1\) का \(r_2\) से बड़ा होना ज़रूरी क्यों है? वलय दोनों ववृत्तों के बीच का अंतराल है, इसलिए बाहरी वृत्त का बड़ा होना अनिवार्य है। अगर आपके इनपुट से \(r_2 \ge r_1\) बनता है (यानी ऋणात्मक वर्गमूल या भीतरी मान बाहरी से बड़ा), तो रिंग अमान्य हो जाती है और कैलकुलेटर त्रुटि दिखा देता है।
क्या मैं pi बदल सकता हूँ? हाँ — डिफ़ॉल्ट मान 3.14159265359 है, लेकिन आप 22/7 को 3.142857 के रूप में या अपनी पसंद का कोई भी धनात्मक मान भर सकते हैं।
