Что такое кольцо (аннулюс)?
Кольцо, или аннулюс, — это плоская фигура в форме кольца, ограниченная двумя концентрическими окружностями: внешней радиусом \(r_1\) и меньшей внутренней радиусом \(r_2\) (при этом \(r_1 > r_2\)). Аннулюс — это вся область между ними. Представьте себе шайбу, компакт-диск или круговую беговую дорожку. Этот калькулятор вычисляет все параметры кольца по любым двум заданным вам величинам.
Как пользоваться
Выберите в выпадающем списке вариант расчёта, в названии которого указаны две уже известные вам величины (например, «по r1, r2» или «по A0, C1»). Введите эти два значения в поля ввода, при необходимости измените число π или выберите единицу отображения, а также укажите количество значащих цифр для округления. Калькулятор выдаст все семь значений: оба радиуса (r1, r2), обе длины окружностей (C1, C2), площади обоих кругов (A1, A2) и площадь самого кольца A0.
Разбор формул
Для окружности радиусом \(r\) длина окружности равна \(C = 2\pi r\), а площадь круга — \(A = \pi r^2\). Площадь кольца — это просто разность большого и малого кругов: $$A_0 = A_1 - A_2 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)$$ Чтобы пойти в обратную сторону, радиус можно найти по длине окружности как \(r = C / (2\pi)\) или по площади круга как \(r = \sqrt{A / \pi}\). Когда задана площадь кольца вместе с одной величиной для окружности, эта величина сначала задаёт один радиус, а затем второй находится из \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\). Таким образом в каждом режиме остаётся всего одна неизвестная — никаких систем уравнений решать не нужно.
Пример расчёта
Пусть \(r_1 = 5\) и \(r_2 = 3\) (единицы — см, \(\pi = 3{,}14159265359\)): $$C_1 = 2\pi(5) = 31{,}4159 \text{ см}$$ $$C_2 = 2\pi(3) = 18{,}8496 \text{ см}$$ $$A_1 = \pi(25) = 78{,}5398 \text{ см}^2$$ $$A_2 = \pi(9) = 28{,}2743 \text{ см}^2$$ и $$A_0 = \pi(25 - 9) = \pi(16) = 50{,}2655 \text{ см}^2$$
Частые вопросы
Переводит ли калькулятор единицы измерения? Нет. Единица служит только подписью к результату; предполагается, что все введённые значения уже выражены в одной и той же выбранной единице длины, а площади — в её квадрате.
Почему r1 должно быть больше r2? Кольцо — это зазор между окружностями, поэтому внешняя окружность обязана быть больше внутренней. Если из введённых данных следует, что \(r_2 \ge r_1\) (отрицательное подкоренное выражение или внутреннее значение больше внешнего), кольцо вырождается, и калькулятор сообщит об ошибке.
Можно ли изменить значение π? Да — по умолчанию используется 3,14159265359, но вы можете ввести 22/7 как 3,142857 или любое другое положительное число.
Дополнительные решённые примеры
Каждый пример ниже использует стандартные соотношения для кольца. При двух заданных величинах все остальные свойства следуют из \(C = 2\pi r\), \(A = \pi r^2\) и площади кольца \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\). Мы используем \(\pi = 3.14159265\) и приводим результаты с точностью до 5 значащих цифр.
Пример 1 — дана внешняя длина окружности \(C_1\) и внутренний радиус \(r_2\) (режим c1r2)
Предположим, что кольцо имеет внешнюю длину окружности \(C_1 = 40\text{ см}\) и внутренний радиус \(r_2 = 5\text{ см}\). Сначала найдём внешний радиус из длины окружности:
$$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{40}{2\times 3.14159265} = 6.3662\text{ см}$$
Теперь вычислим остальные шесть результатов:
- Внешний радиус: \(r_1 = 6.3662\text{ см}\)
- Внутренний радиус: \(r_2 = 5\text{ см}\)
- Внешняя длина окружности: \(C_1 = 40\text{ см}\) (дано)
- Внутренняя длина окружности: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 5 = 31.416\text{ см}\)
- Площадь внешнего круга: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 6.3662^2 = \)127.32\(\text{ см}^2\)
- Площадь внутреннего круга: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 5^2 = 78.540\text{ см}^2\)
- Площадь кольца: \(A_0 = A_1 - A_2 = 127.32 - 78.540 = \)48.784\(\text{ см}^2\)
Пример 2 — дана площадь кольца \(A_0\) и внешний радиус \(r_1\) (режим a0r1)
Предположим, кольцо из материала имеет площадь \(A_0 = 60\text{ дюйм}^2\) и внешний радиус \(r_1 = 8\text{ дюйм}\). Решим определяющую формулу для внутреннего радиуса:
$$r_2 = \sqrt{r_1^2 - \frac{A_0}{\pi}} = \sqrt{8^2 - \frac{60}{3.14159265}} = \sqrt{64 - 19.099} = \sqrt{44.901} = 6.7008\text{ дюйм}$$
Полный набор семи результатов:
- Внешний радиус: \(r_1 = 8\text{ дюйм}\) (дано)
- Внутренний радиус: \(r_2 = 6.7008\text{ дюйм}\)
- Внешняя длина окружности: \(C_1 = 2\pi r_1 = 2\times 3.14159265\times 8 = 50.265\text{ дюйм}\)
- Внутренняя длина окружности: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 6.7008 = 42.102\text{ дюйм}\)
- Площадь внешнего круга: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 8^2 = 201.06\text{ дюйм}^2\)
- Площадь внутреннего круга: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 6.7008^2 = 141.06\text{ дюйм}^2\)
- Площадь кольца: \(A_0 = 201.06 - 141.06 = 60\text{ дюйм}^2\) (дано, подтверждающее решение)
Пример 3 — даны оба радиуса \(r_1\) и \(r_2\) (режим r1r2)
Для плоской шайбы с \(r_1 = 12\text{ мм}\) и \(r_2 = 7\text{ мм}\) результаты вычисляются непосредственно:
- Внешний радиус: \(r_1 = 12\text{ мм}\)
- Внутренний радиус: \(r_2 = 7\text{ мм}\)
- Внешняя длина окружности: \(C_1 = 2\pi\times 12 = 75.398\text{ мм}\)
- Внутренняя длина окружности: \(C_2 = 2\pi\times 7 = 43.982\text{ мм}\)
- Площадь внешнего круга: \(A_1 = \pi\times 12^2 = 452.39\text{ мм}^2\)
- Площадь внутреннего круга: \(A_2 = \pi\times 7^2 = 153.94\text{ мм}^2\)
- Площадь кольца: \(A_0 = \pi\left(12^2 - 7^2\right) = \pi\times 95 = \)298.45\(\text{ мм}^2\)
