Hình vành khăn là gì?
Hình vành khăn là một vùng phẳng có dạng vòng tròn, được giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm: một đường tròn ngoài bán kính \(r_1\) và một đường tròn trong nhỏ hơn bán kính \(r_2\) (với \(r_1 > r_2\)). Vành khăn chính là toàn bộ phần nằm giữa hai đường tròn này — hãy hình dung một chiếc long đen (vòng đệm), một chiếc đĩa CD hay một đường chạy điền kinh hình tròn. Máy tính này sẽ giải ra mọi thông số của vòng chỉ từ hai đại lượng mà bạn đã biết.
Cách sử dụng
Hãy chọn một phép tính từ danh sách thả xuống tương ứng với hai đại lượng bạn đã có (ví dụ "biết \(r_1\), \(r_2\)" hoặc "biết \(A_0\), \(C_1\)"). Nhập hai giá trị đó vào các ô, nếu muốn bạn có thể thay đổi giá trị pi hoặc chọn đơn vị hiển thị, rồi quyết định số chữ số có nghĩa để làm tròn. Công cụ sẽ trả về cả bảy giá trị: hai bán kính (\(r_1\), \(r_2\)), hai chu vi (\(C_1\), \(C_2\)), hai diện tích hình tròn (\(A_1\), \(A_2\)) và diện tích vành khăn \(A_0\).
Giải thích các công thức
Với một đường tròn bán kính \(r\), chu vi là \(C = 2\pi r\) và diện tích là \(A = \pi r^2\). Diện tích vành khăn đơn giản là diện tích đĩa lớn trừ đi diện tích đĩa nhỏ:
$$A_0 = A_1 - A_2 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)$$Để tính ngược lại, ta có thể suy ra bán kính từ chu vi bằng \(r = C / (2\pi)\) hoặc từ diện tích hình tròn bằng \(r = \sqrt{A / \pi}\). Khi đã biết diện tích vành khăn cùng với một đại lượng của đường tròn, đại lượng đó sẽ xác định một bán kính trước, sau đó bán kính còn lại được tìm ra từ \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\); như vậy mọi chế độ tính đều quy về một ẩn duy nhất — không cần giải hệ phương trình nào cả.
Ví dụ minh họa
Cho \(r_1 = 5\) và \(r_2 = 3\) (đơn vị cm, \(\pi = 3.14159265359\)):
$$C_1 = 2\pi(5) = 31.4159 \text{ cm}$$$$C_2 = 2\pi(3) = 18.8496 \text{ cm}$$$$A_1 = \pi(25) = 78.5398 \text{ cm}^2$$$$A_2 = \pi(9) = 28.2743 \text{ cm}^2$$$$A_0 = \pi(25 - 9) = \pi(16) = 50.2655 \text{ cm}^2$$Thêm các ví dụ đã giải
Mỗi ví dụ dưới đây sử dụng các mối quan hệ vòng tròn tiêu chuẩn. Với hai đại lượng đã cho, tất cả các thuộc tính khác suy ra từ \(C = 2\pi r\), \(A = \pi r^2\) và diện tích vòng tròn \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\). Chúng tôi sử dụng \(\pi = 3.14159265\) trong suốt bài viết và báo cáo kết quả với 5 chữ số có nghĩa.
Ví dụ 1 — Cho chu vi ngoài \(C_1\) và bán kính trong \(r_2\) (chế độ c1r2)
Giả sử một vòng tròn có chu vi ngoài là \(C_1 = 40\text{ cm}\) và bán kính trong là \(r_2 = 5\text{ cm}\). Trước tiên hãy tính bán kính ngoài từ chu vi:
$$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{40}{2\times 3.14159265} = 6.3662\text{ cm}$$
Bây giờ tính sáu kết quả còn lại:
- Bán kính ngoài: \(r_1 = 6.3662\text{ cm}\)
- Bán kính trong: \(r_2 = 5\text{ cm}\)
- Chu vi ngoài: \(C_1 = 40\text{ cm}\) (đã cho)
- Chu vi trong: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 5 = 31.416\text{ cm}\)
- Diện tích hình tròn ngoài: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 6.3662^2 = \)127.32\(\text{ cm}^2\)
- Diện tích hình tròn trong: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 5^2 = 78.540\text{ cm}^2\)
- Diện tích vòng tròn: \(A_0 = A_1 - A_2 = 127.32 - 78.540 = \)48.784\(\text{ cm}^2\)
Ví dụ 2 — Cho diện tích vòng tròn \(A_0\) và bán kính ngoài \(r_1\) (chế độ a0r1)
Giả sử vòng vật liệu có diện tích vòng tròn là \(A_0 = 60\text{ in}^2\) và bán kính ngoài là \(r_1 = 8\text{ in}\). Giải công thức định nghĩa để tìm bán kính trong:
$$r_2 = \sqrt{r_1^2 - \frac{A_0}{\pi}} = \sqrt{8^2 - \frac{60}{3.14159265}} = \sqrt{64 - 19.099} = \sqrt{44.901} = 6.7008\text{ in}$$
Bộ đầy đủ bảy kết quả như sau:
- Bán kính ngoài: \(r_1 = 8\text{ in}\) (đã cho)
- Bán kính trong: \(r_2 = 6.7008\text{ in}\)
- Chu vi ngoài: \(C_1 = 2\pi r_1 = 2\times 3.14159265\times 8 = 50.265\text{ in}\)
- Chu vi trong: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 6.7008 = 42.102\text{ in}\)
- Diện tích hình tròn ngoài: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 8^2 = 201.06\text{ in}^2\)
- Diện tích hình tròn trong: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 6.7008^2 = 141.06\text{ in}^2\)
- Diện tích vòng tròn: \(A_0 = 201.06 - 141.06 = 60\text{ in}^2\) (đã cho, xác nhận giải pháp)
Ví dụ 3 — Cho cả hai bán kính \(r_1\) và \(r_2\) (chế độ r1r2)
Đối với một vòng đệm phẳng có \(r_1 = 12\text{ mm}\) và \(r_2 = 7\text{ mm}\), các kết quả được tính trực tiếp:
- Bán kính ngoài: \(r_1 = 12\text{ mm}\)
- Bán kính trong: \(r_2 = 7\text{ mm}\)
- Chu vi ngoài: \(C_1 = 2\pi\times 12 = 75.398\text{ mm}\)
- Chu vi trong: \(C_2 = 2\pi\times 7 = 43.982\text{ mm}\)
- Diện tích hình tròn ngoài: \(A_1 = \pi\times 12^2 = 452.39\text{ mm}^2\)
- Diện tích hình tròn trong: \(A_2 = \pi\times 7^2 = 153.94\text{ mm}^2\)
- Diện tích vòng tròn: \(A_0 = \pi\left(12^2 - 7^2\right) = \pi\times 95 = \)298.45\(\text{ mm}^2\)
Câu hỏi thường gặp
Công cụ có chuyển đổi đơn vị không? Không. Đơn vị chỉ là nhãn hiển thị; tất cả giá trị nhập vào đều được giả định là đã cùng một đơn vị độ dài bạn chọn, còn diện tích thì tính theo đơn vị đó bình phương.
Tại sao \(r_1\) phải lớn hơn \(r_2\)? Vành khăn là khoảng trống giữa hai đường tròn, nên đường tròn ngoài bắt buộc phải lớn hơn. Nếu các giá trị bạn nhập dẫn đến \(r_2 \ge r_1\) (chẳng hạn lấy căn của số âm hoặc giá trị trong lớn hơn giá trị ngoài), vòng sẽ bị suy biến và máy tính sẽ báo lỗi.
Tôi có thể thay đổi pi không? Có — mặc định là \(3.14159265359\), nhưng bạn có thể nhập \(22/7\) thành \(3.142857\) hoặc bất kỳ giá trị dương nào tùy ý.
