Qu'est-ce qu'un anneau ?
Un anneau (ou couronne circulaire) est une surface plane en forme de cerceau, délimitée par deux cercles concentriques : un cercle extérieur de rayon \(r_1\) et un cercle intérieur plus petit de rayon \(r_2\) (avec \(r_1 > r_2\)). L'anneau correspond à tout l'espace compris entre ces deux cercles — pensez à une rondelle, à un CD ou à une piste d'athlétisme circulaire. Ce calculateur détermine toutes les propriétés de la couronne à partir de deux grandeurs que vous connaissez déjà.
Comment l'utiliser
Sélectionnez dans le menu déroulant le calcul correspondant aux deux grandeurs que vous connaissez (par exemple « \(r_1\), \(r_2\) connus » ou « \(A_0\), \(C_1\) connus »). Saisissez ces deux valeurs dans les champs prévus, modifiez éventuellement la valeur de pi ou choisissez une unité d'affichage, puis indiquez le nombre de chiffres significatifs pour l'arrondi. L'outil renvoie les sept valeurs : les deux rayons (\(r_1\), \(r_2\)), les deux circonférences (\(C_1\), \(C_2\)), les deux aires des disques (\(A_1\), \(A_2\)) et l'aire de l'anneau \(A_0\).
Les formules expliquées
Pour un cercle de rayon \(r\), la circonférence vaut \(C = 2\pi r\) et l'aire vaut \(A = \pi r^2\). L'aire de l'anneau correspond tout simplement au grand disque moins le petit disque :
$$A_0 = A_1 - A_2 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)$$Pour remonter aux rayons, on peut déduire un rayon d'une circonférence avec \(r = C / (2\pi)\), ou d'une aire de disque avec \(r = \sqrt{A / \pi}\). Lorsque l'aire de l'anneau est fournie avec une grandeur relative à un cercle, cette dernière fixe d'abord un rayon, puis l'autre se calcule à partir de \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\). Ainsi, chaque mode se ramène à une seule inconnue : aucun système d'équations couplées à résoudre.
Exemple détaillé
Soit \(r_1 = 5\) et \(r_2 = 3\) (unités en cm, \(\pi = 3{,}14159265359\)) :
$$C_1 = 2\pi(5) = 31{,}4159 \text{ cm}$$$$C_2 = 2\pi(3) = 18{,}8496 \text{ cm}$$$$A_1 = \pi(25) = 78{,}5398 \text{ cm}^2$$$$A_2 = \pi(9) = 28{,}2743 \text{ cm}^2$$$$A_0 = \pi(25 - 9) = \pi(16) = 50{,}2655 \text{ cm}^2$$Plus d'exemples résolus
Chaque exemple ci-dessous utilise les relations standard de l'anneau. Avec les deux quantités données, chaque autre propriété découle de \(C = 2\pi r\), \(A = \pi r^2\), et l'aire de l'anneau \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\). Nous prenons \(\pi = 3.14159265\) tout au long et rapportons les résultats à 5 chiffres significatifs.
Exemple 1 — Donné la circonférence externe \(C_1\) et le rayon interne \(r_2\) (mode c1r2)
Supposons qu'un anneau ait une circonférence externe de \(C_1 = 40\text{ cm}\) et un rayon interne de \(r_2 = 5\text{ cm}\). D'abord, récupérez le rayon externe à partir de la circonférence :
$$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{40}{2\times 3.14159265} = 6.3662\text{ cm}$$
Maintenant, calculez les six résultats restants :
- Rayon externe : \(r_1 = 6.3662\text{ cm}\)
- Rayon interne : \(r_2 = 5\text{ cm}\)
- Circonférence externe : \(C_1 = 40\text{ cm}\) (donné)
- Circonférence interne : \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 5 = 31.416\text{ cm}\)
- Aire du cercle externe : \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 6.3662^2 = \)127.32\(\text{ cm}^2\)
- Aire du cercle interne : \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 5^2 = 78.540\text{ cm}^2\)
- Aire de l'anneau : \(A_0 = A_1 - A_2 = 127.32 - 78.540 = \)48.784\(\text{ cm}^2\)
Exemple 2 — Donné l'aire de l'anneau \(A_0\) et le rayon externe \(r_1\) (mode a0r1)
Supposons que l'anneau de matière ait une aire d'anneau de \(A_0 = 60\text{ po}^2\) et un rayon externe de \(r_1 = 8\text{ po}\). Résolvez la formule définissante pour le rayon interne :
$$r_2 = \sqrt{r_1^2 - \frac{A_0}{\pi}} = \sqrt{8^2 - \frac{60}{3.14159265}} = \sqrt{64 - 19.099} = \sqrt{44.901} = 6.7008\text{ po}$$
L'ensemble complet des sept résultats est alors :
- Rayon externe : \(r_1 = 8\text{ po}\) (donné)
- Rayon interne : \(r_2 = 6.7008\text{ po}\)
- Circonférence externe : \(C_1 = 2\pi r_1 = 2\times 3.14159265\times 8 = 50.265\text{ po}\)
- Circonférence interne : \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 6.7008 = 42.102\text{ po}\)
- Aire du cercle externe : \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 8^2 = 201.06\text{ po}^2\)
- Aire du cercle interne : \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 6.7008^2 = 141.06\text{ po}^2\)
- Aire de l'anneau : \(A_0 = 201.06 - 141.06 = 60\text{ po}^2\) (donné, confirmant la solution)
Exemple 3 — Donné les deux rayons \(r_1\) et \(r_2\) (mode r1r2)
Pour une rondelle plate avec \(r_1 = 12\text{ mm}\) et \(r_2 = 7\text{ mm}\), les résultats sont calculés directement :
- Rayon externe : \(r_1 = 12\text{ mm}\)
- Rayon interne : \(r_2 = 7\text{ mm}\)
- Circonférence externe : \(C_1 = 2\pi\times 12 = 75.398\text{ mm}\)
- Circonférence interne : \(C_2 = 2\pi\times 7 = 43.982\text{ mm}\)
- Aire du cercle externe : \(A_1 = \pi\times 12^2 = 452.39\text{ mm}^2\)
- Aire du cercle interne : \(A_2 = \pi\times 7^2 = 153.94\text{ mm}^2\)
- Aire de l'anneau : \(A_0 = \pi\left(12^2 - 7^2\right) = \pi\times 95 = \)298.45\(\text{ mm}^2\)
FAQ
L'outil convertit-il les unités ? Non. L'unité n'est qu'une étiquette d'affichage ; toutes les valeurs saisies sont supposées être déjà exprimées dans la même unité de longueur choisie, les aires étant exprimées dans cette unité au carré.
Pourquoi \(r_1\) doit-il être supérieur à \(r_2\) ? L'anneau correspond à l'espace situé entre les deux cercles : le cercle extérieur doit donc être le plus grand. Si vos valeurs impliquent \(r_2 \ge r_1\) (un argument de racine carrée négatif ou un rayon intérieur plus grand que l'extérieur), la couronne est dégénérée et le calculateur signale une erreur.
Puis-je modifier la valeur de pi ? Oui — la valeur par défaut est \(3{,}14159265359\), mais vous pouvez saisir \(22/7\) sous la forme \(3{,}142857\) ou toute autre valeur positive de votre choix.
