Qu'est-ce qu'un stade en géométrie ?
En géométrie, un stade (ou « stadium ») est une figure plane formée d'un rectangle prolongé à chacune de ses deux extrémités par un demi-cercle. Si les demi-cercles ont pour rayon r, le rectangle mesure a de long et 2r de large (sa largeur est égale au diamètre). Réunis, les deux demi-cercles forment un cercle complet de rayon r. Le nom de cette forme vient justement des pistes d'athlétisme et des arènes, dont le contour rappelle ce rectangle aux bouts arrondis.
Comment utiliser ce calculateur
Sélectionnez un mode de calcul dans le menu déroulant Choisir un calcul, selon les deux grandeurs que vous connaissez déjà. Saisissez ces deux valeurs, modifiez si besoin la valeur de pi ou l'unité d'affichage, choisissez le nombre de chiffres significatifs pour l'arrondi, et le calculateur vous renvoie les quatre mesures qui définissent la figure : le rayon \(r\), la longueur \(a\), le périmètre \(P\) et l'aire \(A\). L'unité que vous choisissez est purement cosmétique : elle est simplement ajoutée aux résultats (avec l'unité au carré pour l'aire) et ne déclenche jamais aucune conversion. Veillez donc à exprimer toutes vos données dans la même unité.
Les formules
Le périmètre correspond aux deux côtés droits auxquels s'ajoute la circonférence complète formée par les deux demi-cercles réunis : $$P = 2a + 2\pi r$$ L'aire est celle du rectangle additionnée à celle du cercle complet obtenu par les deux moitiés : $$A = 2ar + \pi r^2$$ Chaque mode n'est qu'un réarrangement algébrique : à partir de \(r\) et \(A\), on obtient \(a = (A - \pi r^2) / (2r)\) ; à partir de \(r\) et \(P\), on a \(a = (P - 2\pi r) / 2\) ; et à partir de \(a\) et \(P\), on trouve \(r = (P - 2a) / (2\pi)\).
Exemple résolu
Prenons \(r = 5\) et \(a = 10\) avec \(\pi = 3{,}14159265\). On obtient alors $$P = 2(10) + 2\pi(5) = 20 + 31{,}4159 = 51{,}4159$$ et $$A = 2(10)(5) + \pi(5)^2 = 100 + 78{,}5398 = 178{,}540$$ En remontant le calcul à partir de \(r = 5\) et \(P = 51{,}4159\), on retrouve \(a = (51{,}4159 - 31{,}4159) / 2 = 10\), ce qui confirme la même aire de \(178{,}540\).
FAQ
Pourquoi le rayon doit-il être strictement positif ? Un rayon nul supprime les extrémités arrondies, et la formule \(a = (A - \pi r^2) / (2r)\) provoquerait une division par zéro : la figure ne serait alors plus un stade.
Que se passe-t-il si mon aire ou mon périmètre est trop petit ? En mode aire, il faut que \(A \ge \pi r^2\) ; en mode périmètre, il faut que \(P \ge 2\pi r\) (ou \(P \ge 2a\)). Sinon, la longueur ou le rayon obtenu serait négatif, et le calculateur signale alors une saisie invalide.
Puis-je modifier la valeur de pi ? Oui : le champ « Soit pi = » vous permet de remplacer la constante, ce qui est pratique pour les exercices scolaires qui imposent une valeur arrondie comme 3,14.
