애뉼러스란?
애뉼러스(annulus)는 중심이 같은 두 원 사이에 끼인 평평한 고리 모양의 영역입니다. 바깥쪽 원의 반지름을 \(r_1\), 안쪽 작은 원의 반지름을 \(r_2\)라고 할 때(\(r_1 > r_2\)), 두 원 사이의 부분 전체가 바로 애뉼러스입니다. 와셔(워셔), CD, 원형 트랙을 떠올리면 쉽습니다. 이 계산기는 여러분이 알고 있는 두 값만 입력하면 고리의 모든 속성을 한 번에 구해 줍니다.
사용 방법
먼저 드롭다운에서 이미 알고 있는 두 값의 조합을 고르세요(예: "r1, r2 입력" 또는 "A0, C1 입력"). 그런 다음 입력란에 해당 두 값을 넣고, 필요하면 원주율(pi) 값을 바꾸거나 표시 단위를 선택하고, 반올림할 유효숫자 자릿수를 정하면 됩니다. 계산기는 두 반지름(\(r_1\), \(r_2\)), 두 둘레(\(C_1\), \(C_2\)), 두 원의 넓이(\(A_1\), \(A_2\)), 그리고 고리 넓이 \(A_0\)까지 일곱 가지 값을 모두 돌려줍니다.
공식 풀이
반지름이 \(r\)인 원에서 둘레와 넓이는 다음과 같습니다.
$$C = 2\pi r, \quad A = \pi r^2$$애뉼러스의 넓이는 큰 원판에서 작은 원판을 뺀 값으로, 다음과 같이 됩니다.
$$A_0 = A_1 - A_2 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)$$거꾸로 계산할 때는 둘레로부터 \(r = C / (2\pi)\), 원의 넓이로부터 \(r = \sqrt{A / \pi}\)로 반지름을 구할 수 있습니다. 고리 넓이 \(A_0\)와 한쪽 원의 값이 주어진 경우, 그 짝이 먼저 한쪽 반지름을 정하고, 나머지 반지름은 \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\)에서 구합니다. 결국 모든 모드가 미지수 하나짜리 문제로 단순화되므로, 연립방정식을 풀 필요가 전혀 없습니다.
계산 예시
\(r_1 = 5\), \(r_2 = 3\)일 때(단위 cm, \(\pi = 3.14159265359\)):
$$C_1 = 2\pi(5) = 31.4159 \text{ cm}$$$$C_2 = 2\pi(3) = 18.8496 \text{ cm}$$$$A_1 = \pi(25) = 78.5398 \text{ cm}^2$$$$A_2 = \pi(9) = 28.2743 \text{ cm}^2$$$$A_0 = \pi(25 - 9) = \pi(16) = 50.2655 \text{ cm}^2$$더 많은 작업 예제
아래의 각 예제는 표준 환 관계식을 사용합니다. 주어진 두 개의 양으로부터 다른 모든 성질은 \(C = 2\pi r\), \(A = \pi r^2\), 및 환 넓이 \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\)로부터 도출됩니다. 우리는 전체적으로 \(\pi = 3.14159265\)를 사용하고 결과를 5개의 유효숫자로 보고합니다.
예제 1 — 외부 둘레 \(C_1\) 및 내부 반지름 \(r_2\) 주어짐 (모드 c1r2)
한 환의 외부 둘레가 \(C_1 = 40\text{ cm}\)이고 내부 반지름이 \(r_2 = 5\text{ cm}\)라고 가정합니다. 먼저 둘레로부터 외부 반지름을 구합니다:
$$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{40}{2\times 3.14159265} = 6.3662\text{ cm}$$
이제 나머지 6개의 출력값을 계산합니다:
- 외부 반지름: \(r_1 = 6.3662\text{ cm}\)
- 내부 반지름: \(r_2 = 5\text{ cm}\)
- 외부 둘레: \(C_1 = 40\text{ cm}\) (주어짐)
- 내부 둘레: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 5 = 31.416\text{ cm}\)
- 외부 원의 넓이: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 6.3662^2 = \)127.32\(\text{ cm}^2\)
- 내부 원의 넓이: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 5^2 = 78.540\text{ cm}^2\)
- 환의 넓이: \(A_0 = A_1 - A_2 = 127.32 - 78.540 = \)48.784\(\text{ cm}^2\)
예제 2 — 환의 넓이 \(A_0\) 및 외부 반지름 \(r_1\) 주어짐 (모드 a0r1)
재료의 환의 넓이가 \(A_0 = 60\text{ in}^2\)이고 외부 반지름이 \(r_1 = 8\text{ in}\)이라고 가정합니다. 내부 반지름을 구하기 위해 정의 공식을 풀어봅시다:
$$r_2 = \sqrt{r_1^2 - \frac{A_0}{\pi}} = \sqrt{8^2 - \frac{60}{3.14159265}} = \sqrt{64 - 19.099} = \sqrt{44.901} = 6.7008\text{ in}$$
전체 7개의 출력값 세트는 다음과 같습니다:
- 외부 반지름: \(r_1 = 8\text{ in}\) (주어짐)
- 내부 반지름: \(r_2 = 6.7008\text{ in}\)
- 외부 둘레: \(C_1 = 2\pi r_1 = 2\times 3.14159265\times 8 = 50.265\text{ in}\)
- 내부 둘레: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 6.7008 = 42.102\text{ in}\)
- 외부 원의 넓이: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 8^2 = 201.06\text{ in}^2\)
- 내부 원의 넓이: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 6.7008^2 = 141.06\text{ in}^2\)
- 환의 넓이: \(A_0 = 201.06 - 141.06 = 60\text{ in}^2\) (주어짐, 해를 확인함)
예제 3 — 두 반지름 \(r_1\) 및 \(r_2\) 주어짐 (모드 r1r2)
\(r_1 = 12\text{ mm}\) 및 \(r_2 = 7\text{ mm}\)인 평면 와셔의 경우, 출력값은 직접 계산됩니다:
- 외부 반지름: \(r_1 = 12\text{ mm}\)
- 내부 반지름: \(r_2 = 7\text{ mm}\)
- 외부 둘레: \(C_1 = 2\pi\times 12 = 75.398\text{ mm}\)
- 내부 둘레: \(C_2 = 2\pi\times 7 = 43.982\text{ mm}\)
- 외부 원의 넓이: \(A_1 = \pi\times 12^2 = 452.39\text{ mm}^2\)
- 내부 원의 넓이: \(A_2 = \pi\times 7^2 = 153.94\text{ mm}^2\)
- 환의 넓이: \(A_0 = \pi\left(12^2 - 7^2\right) = \pi\times 95 = \)298.45\(\text{ mm}^2\)
자주 묻는 질문
단위를 변환해 주나요? 아니요. 단위는 표시용 라벨일 뿐입니다. 모든 입력값은 이미 같은 길이 단위로 되어 있다고 가정하며, 넓이는 그 단위의 제곱으로 처리됩니다.
왜 r1이 r2보다 커야 하나요? 애뉼러스는 두 원 사이의 틈이므로 바깥쪽 원이 반드시 더 커야 합니다. 입력값이 \(r_2 \ge r_1\)을 의미하면(제곱근 안이 음수가 되거나 안쪽 값이 바깥쪽 값보다 큰 경우) 고리가 성립하지 않으므로 계산기가 오류를 표시합니다.
원주율(pi)을 바꿀 수 있나요? 네. 기본값은 3.14159265359이지만, 22/7를 3.142857로 넣거나 원하는 양수 값을 자유롭게 입력할 수 있습니다.
