¿Qué es una corona circular?
Una corona circular es una región plana con forma de anillo delimitada por dos circunferencias concéntricas: una exterior de radio \(r_1\) y otra interior más pequeña de radio \(r_2\) (con \(r_1 > r_2\)). La corona es todo lo que queda entre ambas; piensa en una arandela, un CD o una pista de atletismo circular. Esta calculadora resuelve todas las propiedades del anillo a partir de dos magnitudes cualesquiera que conozcas.
Cómo usarla
Elige en el desplegable el cálculo que indique las dos magnitudes que ya conoces (por ejemplo «dados \(r_1\), \(r_2\)» o «dados \(A_0\), \(C_1\)»). Introduce esos dos valores en los campos, cambia pi o selecciona una unidad de visualización si lo deseas, y decide a cuántas cifras significativas quieres redondear. La herramienta te devuelve los siete valores: ambos radios (\(r_1\), \(r_2\)), ambas circunferencias (\(C_1\), \(C_2\)), las áreas de ambos círculos (\(A_1\), \(A_2\)) y el área de la corona \(A_0\).
Las fórmulas explicadas
Para un círculo de radio \(r\), la circunferencia es \(C = 2\pi r\) y el área es \(A = \pi r^2\). El área de la corona es simplemente el disco grande menos el disco pequeño:
$$A_0 = A_1 - A_2 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)$$Para ir hacia atrás, un radio se obtiene a partir de una circunferencia con \(r = C / (2\pi)\), o a partir del área de un círculo con \(r = \sqrt{A / \pi}\). Cuando se da el área de la corona junto con una magnitud de un círculo, ese dato fija primero uno de los radios y el otro se despeja de \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\); así, cada modo se reduce a una sola incógnita y no hay sistemas de ecuaciones acopladas que resolver.
Ejemplo resuelto
Dados \(r_1 = 5\) y \(r_2 = 3\) (unidades en cm, \(\pi = 3{,}14159265359\)):
$$C_1 = 2\pi(5) = 31{,}4159 \text{ cm}$$$$C_2 = 2\pi(3) = 18{,}8496 \text{ cm}$$$$A_1 = \pi(25) = 78{,}5398 \text{ cm}^2$$$$A_2 = \pi(9) = 28{,}2743 \text{ cm}^2$$$$A_0 = \pi(25 - 9) = \pi(16) = 50{,}2655 \text{ cm}^2$$Más ejemplos resueltos
Cada ejemplo que sigue utiliza las relaciones estándar de anillos. Con las dos cantidades dadas, todas las demás propiedades se derivan de \(C = 2\pi r\), \(A = \pi r^2\), y el área de la corona circular \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\). Usamos \(\pi = 3.14159265\) en todo momento e informamos los resultados con 5 cifras significativas.
Ejemplo 1 — Dado la circunferencia exterior \(C_1\) y el radio interior \(r_2\) (modo c1r2)
Supongamos que un anillo tiene una circunferencia exterior de \(C_1 = 40\text{ cm}\) y un radio interior de \(r_2 = 5\text{ cm}\). Primero recuperamos el radio exterior de la circunferencia:
$$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{40}{2\times 3.14159265} = 6.3662\text{ cm}$$
Ahora calculamos las seis salidas restantes:
- Radio exterior: \(r_1 = 6.3662\text{ cm}\)
- Radio interior: \(r_2 = 5\text{ cm}\)
- Circunferencia exterior: \(C_1 = 40\text{ cm}\) (dado)
- Circunferencia interior: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 5 = 31.416\text{ cm}\)
- Área del círculo exterior: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 6.3662^2 = \)127.32\(\text{ cm}^2\)
- Área del círculo interior: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 5^2 = 78.540\text{ cm}^2\)
- Área de la corona circular: \(A_0 = A_1 - A_2 = 127.32 - 78.540 = \)48.784\(\text{ cm}^2\)
Ejemplo 2 — Dado el área de la corona circular \(A_0\) y el radio exterior \(r_1\) (modo a0r1)
Supongamos que la corona de material tiene un área de la corona circular de \(A_0 = 60\text{ in}^2\) y un radio exterior de \(r_1 = 8\text{ in}\). Resolvemos la fórmula definidora para el radio interior:
$$r_2 = \sqrt{r_1^2 - \frac{A_0}{\pi}} = \sqrt{8^2 - \frac{60}{3.14159265}} = \sqrt{64 - 19.099} = \sqrt{44.901} = 6.7008\text{ in}$$
El conjunto completo de siete salidas es entonces:
- Radio exterior: \(r_1 = 8\text{ in}\) (dado)
- Radio interior: \(r_2 = 6.7008\text{ in}\)
- Circunferencia exterior: \(C_1 = 2\pi r_1 = 2\times 3.14159265\times 8 = 50.265\text{ in}\)
- Circunferencia interior: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 6.7008 = 42.102\text{ in}\)
- Área del círculo exterior: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 8^2 = 201.06\text{ in}^2\)
- Área del círculo interior: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 6.7008^2 = 141.06\text{ in}^2\)
- Área de la corona circular: \(A_0 = 201.06 - 141.06 = 60\text{ in}^2\) (dado, confirmando la solución)
Ejemplo 3 — Dados ambos radios \(r_1\) y \(r_2\) (modo r1r2)
Para una arandela plana con \(r_1 = 12\text{ mm}\) y \(r_2 = 7\text{ mm}\), las salidas se calculan directamente:
- Radio exterior: \(r_1 = 12\text{ mm}\)
- Radio interior: \(r_2 = 7\text{ mm}\)
- Circunferencia exterior: \(C_1 = 2\pi\times 12 = 75.398\text{ mm}\)
- Circunferencia interior: \(C_2 = 2\pi\times 7 = 43.982\text{ mm}\)
- Área del círculo exterior: \(A_1 = \pi\times 12^2 = 452.39\text{ mm}^2\)
- Área del círculo interior: \(A_2 = \pi\times 7^2 = 153.94\text{ mm}^2\)
- Área de la corona circular: \(A_0 = \pi\left(12^2 - 7^2\right) = \pi\times 95 = \)298.45\(\text{ mm}^2\)
Preguntas frecuentes
¿Convierte unidades? No. La unidad es solo una etiqueta de visualización; se asume que todos los datos ya están en la misma unidad de longitud elegida, con las áreas en esa unidad al cuadrado.
¿Por qué \(r_1\) debe ser mayor que \(r_2\)? La corona es el hueco entre las dos circunferencias, así que la exterior tiene que ser mayor. Si tus datos implican que \(r_2 \ge r_1\) (una raíz cuadrada con argumento negativo o un valor interior mayor que el exterior), el anillo es degenerado y la calculadora muestra un error.
¿Puedo cambiar el valor de pi? Sí. El valor predeterminado es 3,14159265359, pero puedes introducir 22/7 como 3,142857 o cualquier valor positivo que prefieras.
