什么是圆环？
圆环是由两个同心圆围成的平面环形区域：外圆半径为 \(r_1\)，内圆半径较小为 \(r_2\)（且 \(r_1 > r_2\)）。两圆之间的部分就是圆环——你可以把它想象成一个垫圈、一张光盘，或是一条环形跑道。本计算器只需你提供任意两个已知量，就能求出圆环的全部参数。
使用方法
先从下拉菜单中选择一种与你已知两个量相对应的计算方式（例如"已知 \(r_1\)、\(r_2\)"或"已知 \(A_0\)、\(C_1\)"）。在输入框中填入这两个数值，可按需修改圆周率 \(\pi\) 或选择显示单位，再设定结果保留的有效数字位数。计算器会一次性返回全部七个数值：两个半径（\(r_1\)、\(r_2\)）、两条周长（\(C_1\)、\(C_2\)）、两个圆面积（\(A_1\)、\(A_2\)）以及圆环面积 \(A_0\)。
公式详解
对于半径为 \(r\) 的圆，周长为 \(C = 2\pi r\)，面积为 \(A = \pi r^2\)。圆环面积就是大圆减去小圆：
$$A_0 = A_1 - A_2 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)$$反过来求解时，可由周长求半径 \(r = C / (2\pi)\)，或由圆面积求半径 \(r = \sqrt{A / \pi}\)。当已知圆环面积加上一个圆的相关量时，先用已知量确定其中一个半径，再通过 \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\) 求出另一个半径。因此每种模式最终都只剩一个未知数，无需求解联立方程。
计算实例
已知 \(r_1 = 5\)、\(r_2 = 3\)（单位为 cm，\(\pi = 3.14159265359\)）：
$$C_1 = 2\pi(5) = 31.4159 \text{ cm}$$$$C_2 = 2\pi(3) = 18.8496 \text{ cm}$$$$A_1 = \pi(25) = 78.5398 \text{ cm}^2$$$$A_2 = \pi(9) = 28.2743 \text{ cm}^2$$$$A_0 = \pi(25 - 9) = \pi(16) = 50.2655 \text{ cm}^2$$更多详细例题
以下每个例题都使用标准的圆环关系式。根据给定的两个数量，所有其他性质均由 \(C = 2\pi r\)、\(A = \pi r^2\) 和圆环面积 \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\) 推导而出。我们采用 \(\pi = 3.14159265\)，整个过程中结果精确到5位有效数字。
例题1 — 已知外圆周长 \(C_1\) 和内半径 \(r_2\)（模式 c1r2）
假设一个圆环的外圆周长为 \(C_1 = 40\text{ cm}\)，内半径为 \(r_2 = 5\text{ cm}\)。首先从周长恢复外半径：
$$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{40}{2\times 3.14159265} = 6.3662\text{ cm}$$
现在计算其余六个输出值：
- 外半径：\(r_1 = 6.3662\text{ cm}\)
- 内半径：\(r_2 = 5\text{ cm}\)
- 外圆周长：\(C_1 = 40\text{ cm}\)（已知）
- 内圆周长：\(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 5 = 31.416\text{ cm}\)
- 外圆面积：\(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 6.3662^2 = \)127.32\(\text{ cm}^2\)
- 内圆面积：\(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 5^2 = 78.540\text{ cm}^2\)
- 圆环面积：\(A_0 = A_1 - A_2 = 127.32 - 78.540 = \)48.784\(\text{ cm}^2\)
例题2 — 已知圆环面积 \(A_0\) 和外半径 \(r_1\)（模式 a0r1）
假设材料圆环的面积为 \(A_0 = 60\text{ in}^2\)，外半径为 \(r_1 = 8\text{ in}\)。对定义公式求解内半径：
$$r_2 = \sqrt{r_1^2 - \frac{A_0}{\pi}} = \sqrt{8^2 - \frac{60}{3.14159265}} = \sqrt{64 - 19.099} = \sqrt{44.901} = 6.7008\text{ in}$$
完整的七个输出值集合如下：
- 外半径：\(r_1 = 8\text{ in}\)（已知）
- 内半径：\(r_2 = 6.7008\text{ in}\)
- 外圆周长：\(C_1 = 2\pi r_1 = 2\times 3.14159265\times 8 = 50.265\text{ in}\)
- 内圆周长：\(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 6.7008 = 42.102\text{ in}\)
- 外圆面积：\(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 8^2 = 201.06\text{ in}^2\)
- 内圆面积：\(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 6.7008^2 = 141.06\text{ in}^2\)
- 圆环面积：\(A_0 = 201.06 - 141.06 = 60\text{ in}^2\)（已知，确认解答）
例题3 — 已知两个半径 \(r_1\) 和 \(r_2\)（模式 r1r2）
对于外半径 \(r_1 = 12\text{ mm}\) 和内半径 \(r_2 = 7\text{ mm}\) 的平垫圈，输出值直接计算得出：
- 外半径：\(r_1 = 12\text{ mm}\)
- 内半径：\(r_2 = 7\text{ mm}\)
- 外圆周长：\(C_1 = 2\pi\times 12 = 75.398\text{ mm}\)
- 内圆周长：\(C_2 = 2\pi\times 7 = 43.982\text{ mm}\)
- 外圆面积：\(A_1 = \pi\times 12^2 = 452.39\text{ mm}^2\)
- 内圆面积：\(A_2 = \pi\times 7^2 = 153.94\text{ mm}^2\)
- 圆环面积：\(A_0 = \pi\left(12^2 - 7^2\right) = \pi\times 95 = \)298.45\(\text{ mm}^2\)
常见问题
会进行单位换算吗？不会。单位仅作为显示标签使用；所有输入值都默认采用你所选择的同一种长度单位，面积则以该单位的平方计。
为什么 \(r_1\) 必须大于 \(r_2\)？圆环是两个圆之间的环形区域，所以外圆必须比内圆大。如果你的输入导致 \(r_2 \ge r_1\)（例如出现负数开平方，或内圆数值大于外圆），圆环就会退化，计算器会提示错误。
可以修改圆周率 \(\pi\) 吗？可以。默认值为 \(3.14159265359\)，你也可以输入 \(22/7\)（即 \(3.142857\)）或任意正数值。
