ما هي الحلقة الدائرية؟
الحلقة الدائرية هي منطقة مسطّحة على شكل خاتم محصورة بين دائرتين متحدتي المركز: دائرة خارجية نصف قطرها \(r_1\) ودائرة داخلية أصغر نصف قطرها \(r_2\) (حيث \(r_1 > r_2\)). الحلقة هي كل ما يقع بين الدائرتين — تخيّل حلقة معدنية (وردة) أو قرص CD أو مضمار جري دائري. تحسب هذه الأداة كل خاصية من خصائص الحلقة انطلاقًا من أي قيمتين معلومتين تدخلهما.
كيفية الاستخدام
اختر من القائمة المنسدلة نوع الحساب الذي يطابق القيمتين المعلومتين لديك (مثل «بمعلومية \(r_1\)، \(r_2\)» أو «بمعلومية \(A_0\)، \(C_1\)»). أدخل هاتين القيمتين في حقلي الإدخال، ويمكنك اختياريًا تغيير قيمة باي أو اختيار وحدة العرض، ثم حدّد عدد الأرقام المعنوية المطلوبة للتقريب. تُرجِع الأداة القيم السبع كلها: نصفَي القطر (\(r_1\)، \(r_2\))، والمحيطين (\(C_1\)، \(C_2\))، ومساحتي الدائرتين (\(A_1\)، \(A_2\))، ومساحة الحلقة \(A_0\).
شرح المعادلات
لأي دائرة نصف قطرها \(r\)، يكون المحيط والمساحة:
$$C = 2\pi r, \quad A = \pi r^2$$أما مساحة الحلقة فهي ببساطة مساحة القرص الكبير مطروحًا منها مساحة القرص الصغير:
$$A_0 = A_1 - A_2 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)$$وللعمل بالاتجاه المعاكس، يمكن استخراج نصف القطر من المحيط بالعلاقة \(r = C / (2\pi)\) أو من مساحة الدائرة بالعلاقة \(r = \sqrt{A / \pi}\). وعندما تكون مساحة الحلقة معطاة مع إحدى خصائص الدائرتين، فإن القيمة المرافقة تحدّد أحد نصفي القطر أولًا، ثم يُستخرج النصف الآخر من العلاقة \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\)، بحيث يتلخّص كل وضع في مجهول واحد فقط — فلا توجد معادلات آنية مترابطة بحاجة إلى حل.
مثال محلول
بمعلومية \(r_1 = 5\) و \(r_2 = 3\) (الوحدة سم، \(\pi = 3.14159265359\)):
$$C_1 = 2\pi(5) = 31.4159 \text{ سم}$$$$C_2 = 2\pi(3) = 18.8496 \text{ سم}$$$$A_1 = \pi(25) = 78.5398 \text{ سم}^2$$$$A_2 = \pi(9) = 28.2743 \text{ سم}^2$$$$A_0 = \pi(25 - 9) = \pi(16) = 50.2655 \text{ سم}^2$$أمثلة مفصلة إضافية
يستخدم كل مثال أدناه علاقات الحلقة القياسية. مع الكميتين المعطاتين، تتبع كل الخصائص الأخرى من \(C = 2\pi r\)، \(A = \pi r^2\)، ومساحة الحلقة \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\). نستخدم \(\pi = 3.14159265\) في جميع أنحاء ونبلغ النتائج إلى 5 أرقام معنوية.
المثال 1 — محيط الدائرة الخارجية \(C_1\) ونصف قطر الدائرة الداخلية \(r_2\) معطيان (الوضع c1r2)
لنفترض أن الحلقة لها محيط خارجي \(C_1 = 40\text{ سم}\) ونصف قطر داخلي \(r_2 = 5\text{ سم}\). أولاً، استرجع نصف القطر الخارجي من المحيط:
$$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{40}{2\times 3.14159265} = 6.3662\text{ سم}$$
الآن احسب النواتج الستة المتبقية:
- نصف القطر الخارجي: \(r_1 = 6.3662\text{ سم}\)
- نصف القطر الداخلي: \(r_2 = 5\text{ سم}\)
- المحيط الخارجي: \(C_1 = 40\text{ سم}\) (معطى)
- المحيط الداخلي: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 5 = 31.416\text{ سم}\)
- مساحة الدائرة الخارجية: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 6.3662^2 = \)127.32\(\text{ سم}^2\)
- مساحة الدائرة الداخلية: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 5^2 = 78.540\text{ سم}^2\)
- مساحة الحلقة: \(A_0 = A_1 - A_2 = 127.32 - 78.540 = \)48.784\(\text{ سم}^2\)
المثال 2 — مساحة الحلقة \(A_0\) ونصف القطر الخارجي \(r_1\) معطيان (الوضع a0r1)
لنفترض أن الحلقة المصنوعة من مادة لها مساحة حلقة \(A_0 = 60\text{ بوصة}^2\) ونصف قطر خارجي \(r_1 = 8\text{ بوصة}\). حل الصيغة المحددة لإيجاد نصف القطر الداخلي:
$$r_2 = \sqrt{r_1^2 - \frac{A_0}{\pi}} = \sqrt{8^2 - \frac{60}{3.14159265}} = \sqrt{64 - 19.099} = \sqrt{44.901} = 6.7008\text{ بوصة}$$
المجموعة الكاملة من سبع نواتج هي:
- نصف القطر الخارجي: \(r_1 = 8\text{ بوصة}\) (معطى)
- نصف القطر الداخلي: \(r_2 = 6.7008\text{ بوصة}\)
- المحيط الخارجي: \(C_1 = 2\pi r_1 = 2\times 3.14159265\times 8 = 50.265\text{ بوصة}\)
- المحيط الداخلي: \(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 6.7008 = 42.102\text{ بوصة}\)
- مساحة الدائرة الخارجية: \(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 8^2 = 201.06\text{ بوصة}^2\)
- مساحة الدائرة الداخلية: \(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 6.7008^2 = 141.06\text{ بوصة}^2\)
- مساحة الحلقة: \(A_0 = 201.06 - 141.06 = 60\text{ بوصة}^2\) (معطى، مما يؤكد الحل)
المثال 3 — نصف القطر الخارجي \(r_1\) والداخلي \(r_2\) معطيان (الوضع r1r2)
بالنسبة للحشية المسطحة مع \(r_1 = 12\text{ ملم}\) و \(r_2 = 7\text{ ملم}\)، يتم حساب النواتج مباشرة:
- نصف القطر الخارجي: \(r_1 = 12\text{ ملم}\)
- نصف القطر الداخلي: \(r_2 = 7\text{ ملم}\)
- المحيط الخارجي: \(C_1 = 2\pi\times 12 = 75.398\text{ ملم}\)
- المحيط الداخلي: \(C_2 = 2\pi\times 7 = 43.982\text{ ملم}\)
- مساحة الدائرة الخارجية: \(A_1 = \pi\times 12^2 = 452.39\text{ ملم}^2\)
- مساحة الدائرة الداخلية: \(A_2 = \pi\times 7^2 = 153.94\text{ ملم}^2\)
- مساحة الحلقة: \(A_0 = \pi\left(12^2 - 7^2\right) = \pi\times 95 = \)298.45\(\text{ ملم}^2\)
الأسئلة الشائعة
هل تحوّل الأداة بين الوحدات؟ لا. الوحدة مجرد تسمية للعرض فقط؛ ويُفترض أن جميع المدخلات معبَّر عنها بالفعل بنفس وحدة الطول المختارة، مع التعبير عن المساحات بمربّع تلك الوحدة.
لماذا يجب أن يكون \(r_1\) أكبر من \(r_2\)؟ الحلقة هي الفراغ المحصور بين الدائرتين، لذا يجب أن تكون الدائرة الخارجية أكبر. وإذا أوحت مدخلاتك بأن \(r_2 \ge r_1\) (أي جذر تربيعي لعدد سالب أو قيمة داخلية أكبر من الخارجية)، تصبح الحلقة منحلّة وتعرض الأداة رسالة خطأ.
هل يمكنني تغيير قيمة باي؟ نعم — القيمة الافتراضية هي 3.14159265359، لكن يمكنك إدخال 22/7 على هيئة 3.142857 أو أي قيمة موجبة تشاء.
