ما هي نظرية فيثاغورس؟
تصف نظرية فيثاغورس العلاقة بين الأضلاع الثلاثة في المثلث القائم الزاوية (المثلث الذي تبلغ إحدى زواياه 90°). وتنص على أن مربع طول الوتر — وهو أطول ضلع، المقابل للزاوية القائمة — يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر (الساقين): \(أ^2 + ب^2 = ج^2\). تعيد هذه الحاسبة ترتيب المعادلة لتتمكن من إيجاد قيمة أي ضلع مجهول، كما تحسب لك مساحة المثلث أيضًا.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولًا ما تريد إيجاده: الضلع أ، أو الضلع ب، أو الوتر ج، أو المساحة A. بعد ذلك تستخدم الحاسبة القيمتين المناسبتين لاختيارك. لإيجاد الوتر، أدخل طولي الساقين أ و ب معًا. ولإيجاد إحدى الساقين، أدخل طول الوتر وطول الساق الأخرى. ولحساب المساحة، أدخل طولي الساقين. ثم اختر وحدة القياس (وهي مجرد تسمية فقط — لا يجري أي تحويل) وعدد الأرقام المعنوية، وانقر للحساب.
شرح القانون
عند إعادة ترتيب المعادلة \(أ^2 + ب^2 = ج^2\) نحصل على ثلاث صيغ للحل: الوتر هو $$ج = \sqrt{أ^2 + ب^2}$$ والساق المجهولة هي $$أ = \sqrt{ج^2 - ب^2} \quad \text{أو} \quad ب = \sqrt{ج^2 - أ^2}$$ وبما أن صيغة الساق تطرح القيم تحت الجذر التربيعي، فيجب أن يكون الوتر أطول تمامًا من الساق المعلومة، وإلا فلن يوجد مثلث حقيقي. أما مساحة المثلث القائم الزاوية فهي ببساطة نصف حاصل ضرب طولي ساقيه: $$A = \tfrac{1}{2}\cdot أ \cdot ب$$
مثال محلول
لنأخذ المثلث الكلاسيكي 3-4-5، نضع أ = 3 و ب = 4 ونوجد الوتر: $$ج = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ وتكون المساحة \(\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\). إذًا المثلث القائم الزاوية 3-4-5 له وتر طوله 5 ومساحة قدرها 6 وحدات مربعة — وهو ثلاثية فيثاغورية مثالية.
الأسئلة الشائعة
أي ضلع هو الوتر؟ الوتر (ج) هو دائمًا أطول الأضلاع، ويقع مباشرة في مواجهة الزاوية القائمة.
لماذا تظهر لي رسالة خطأ عند إيجاد إحدى الساقين؟ عند إيجاد طول الساق، يجب أن يكون الوتر أطول من الساق المعلومة؛ فإذا كان مساويًا لها أو أقصر منها، فلن تكون قيمة \(ج^2 - \text{ساق}^2\) موجبة، ولا يمكن تكوين مثلث حقيقي.
ما هي الثلاثيات الفيثاغورية؟ هي مجموعات من الأطوال بأعداد صحيحة تحقق المعادلة \(أ^2 + ب^2 = ج^2\)، مثل 3-4-5 و 5-12-13 و 8-15-17 و 7-24-25. وتعمل الحاسبة مع أي أعداد عشرية موجبة، وليس مع الثلاثيات فقط.
