पाइथागोरस प्रमेय क्या है?
पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज (जिसमें एक कोण 90° का होता है) की तीनों भुजाओं के बीच के संबंध को बताती है। इसके अनुसार, कर्ण — यानी समकोण के सामने वाली सबसे लंबी भुजा — का वर्ग, बाकी दोनों छोटी भुजाओं (पादों) के वर्गों के योग के बराबर होता है: \(a^2 + b^2 = c^2\)। यह कैलकुलेटर इसी समीकरण को फिर से व्यवस्थित करके आपको किसी भी अज्ञात भुजा का मान निकालने देता है, साथ ही त्रिभुज का क्षेत्रफल भी बताता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि आपको क्या हल करना है: भुजा a, भुजा b, कर्ण c, या क्षेत्रफल A। इसके बाद कैलकुलेटर उस विकल्प के अनुसार ज़रूरी दो मानों का उपयोग करता है। कर्ण निकालने के लिए दोनों पाद a और b दर्ज करें। किसी एक पाद को निकालने के लिए कर्ण और दूसरा पाद दर्ज करें। क्षेत्रफल पाने के लिए दोनों पाद दर्ज करें। एक इकाई चुनें (यह केवल एक लेबल है — कोई रूपांतरण नहीं होता) और सार्थक अंकों की संख्या तय करें, फिर सबमिट करें।
सूत्र की पूरी समझ
\(a^2 + b^2 = c^2\) को फिर से व्यवस्थित करने पर तीन सूत्र मिलते हैं: कर्ण के लिए $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ अज्ञात पाद के लिए $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$ या $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$ चूँकि पाद के सूत्र में वर्गमूल के भीतर घटाव होता है, इसलिए कर्ण का मान दिए गए पाद से सख़्ती से बड़ा होना चाहिए, वरना कोई वास्तविक त्रिभुज संभव नहीं होगा। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल बस इसके दोनों पादों के गुणनफल का आधा होता है: $$A = \tfrac{1}{2}\,a\,b$$
हल किया हुआ उदाहरण
क्लासिक 3-4-5 त्रिभुज के लिए, \(a = 3\) और \(b = 4\) रखें और कर्ण निकालें: $$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ क्षेत्रफल होगा \(\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\)। यानी एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज का कर्ण 5 और क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई होता है — एक आदर्श पाइथागोरस त्रिक।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
कर्ण कौन-सी भुजा होती है? कर्ण (c) हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है और समकोण के ठीक सामने स्थित होती है।
किसी पाद को हल करते समय त्रुटि क्यों आती है? जब आप कोई पाद निकालते हैं, तो कर्ण उस ज्ञात पाद से बड़ा होना चाहिए; अगर वह बराबर या छोटा है, तो \(c^2 - \text{पाद}^2\) धनात्मक नहीं रहता और कोई वास्तविक त्रिभुज नहीं बन सकता।
पाइथागोरस त्रिक क्या होते हैं? ये पूर्णांक भुजाओं के ऐसे समूह हैं जो \(a^2 + b^2 = c^2\) को संतुष्ट करते हैं, जैसे 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 और 7-24-25। यह कैलकुलेटर सिर्फ़ त्रिकों के साथ नहीं, बल्कि किसी भी धनात्मक दशमलव मान के साथ काम करता है।
