त्रिभुज असमानता प्रमेय क्या है?
त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, किसी भी त्रिभुज में किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से सख्ती से अधिक होना चाहिए। अगर इन तीन शर्तों में से एक भी पूरी नहीं होती, तो वे तीन लंबाइयाँ आपस में जुड़कर त्रिभुज नहीं बना सकतीं। यह कैलकुलेटर तीनों असमानताओं को एक साथ जाँचता है और बताता है कि आपकी भुजाएँ एक वैध त्रिभुज बनाती हैं या नहीं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीनों भुजाओं की लंबाई \(a\), \(b\) और \(c\) किसी भी इकाई में दर्ज करें (बस इतना ध्यान रखें कि सभी एक ही इकाई में हों)। कैलकुलेटर तीनों असमानताओं का मूल्यांकन करता है और हर एक के लिए "पास" या "फेल" दिखाता है, साथ ही एक समग्र निष्कर्ष भी देता है। सभी भुजाएँ धनात्मक संख्याएँ होनी चाहिए।
सूत्र की व्याख्या
तीन धनात्मक लंबाइयों का समूह त्रिभुज तभी और केवल तभी बनाता है जब:
$$\begin{gathered} \text{a} + \text{b} > \text{c} \\[0.6em] \text{a} + \text{c} > \text{b} \\[0.6em] \text{b} + \text{c} > \text{a} \end{gathered}$$ये असमानताएँ सख्त (strict) हैं। अगर किसी दो भुजाओं का योग ठीक तीसरी भुजा के बराबर हो जाए (जैसे \(2 + 3 = 5\)), तो वह त्रिभुज "अपभ्रष्ट" (degenerate) कहलाता है — तीनों बिंदु एक ही सीधी रेखा पर पड़ते हैं और उनका क्षेत्रफल शून्य होता है, इसलिए इसे वैध त्रिभुज नहीं माना जाता।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए भुजाएँ 3, 4 और 5 हैं। जाँच करें: \(3 + 4 = 7 > 5\) ✓, \(3 + 5 = 8 > 4\) ✓, \(4 + 5 = 9 > 3\) ✓। तीनों शर्तें पास हो गईं, इसलिए 3-4-5 एक वैध त्रिभुज है (वास्तव में यह एक समकोण त्रिभुज है)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर दो भुजाओं का योग ठीक तीसरी भुजा के बराबर हो तो क्या होगा? वह शून्य क्षेत्रफल वाला अपभ्रष्ट त्रिभुज होता है, इसलिए इसे वैध त्रिभुज नहीं माना जाता।
क्या इकाई (units) से फर्क पड़ता है? नहीं, बशर्ते तीनों भुजाएँ एक ही इकाई में हों। यह जाँच केवल आपस की सापेक्ष लंबाइयों की तुलना करती है।
मुझे केवल तीन शर्तें ही क्यों जाँचनी पड़ती हैं? भुजाओं के हर जोड़े से एक असमानता बनती है, और त्रिभुज में ठीक तीन जोड़े होते हैं, इसलिए तीन जाँचें ही वैधता पूरी तरह तय कर देती हैं।
