ما هي مبرهنة متباينة المثلث؟
تنص مبرهنة متباينة المثلث على أنه في أي مثلث، يجب أن يكون مجموع طولَي أي ضلعين أكبر تمامًا من طول الضلع الثالث. وإذا اختلّ شرط واحد فقط من هذه الشروط الثلاثة، فلن تتمكن الأطوال الثلاثة من الانغلاق لتكوين مثلث. تتحقق هذه الحاسبة من المتباينات الثلاث دفعةً واحدة، وتخبرك بما إذا كانت أضلاعك تُكوِّن مثلثًا صحيحًا.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل أطوال الأضلاع الثلاثة أ وب وج بأي وحدة قياس (يكفي أن تكون موحَّدة جميعها). تقوم الحاسبة بتقييم كل متباينة من المتباينات الثلاث وتُظهر «اجتاز» أو «فشل» لكل منها، إضافةً إلى الحكم النهائي العام. ويجب أن تكون جميع الأضلاع أعدادًا موجبة.
شرح الصيغة
تُكوِّن مجموعة من ثلاثة أطوال موجبة مثلثًا إذا وفقط إذا تحقق ما يلي:
$$\begin{gathered} \text{a} + \text{b} > \text{c} \\[0.6em] \text{a} + \text{c} > \text{b} \\[0.6em] \text{b} + \text{c} > \text{a} \end{gathered}$$
المتباينات هنا قاطعة (أكبر تمامًا). فإذا كان أحد المجموعَين مساويًا تمامًا للضلع الثالث (مثل \(2 + 3 = 5\))، يكون المثلث «منحلًّا» — أي إن النقاط الثلاث تقع على خط مستقيم واحد وتُحيط بمساحة تساوي صفرًا، ولذلك لا يُعَدّ مثلثًا صحيحًا.
مثال محلول
لنأخذ الأضلاع 3 و4 و5. نتحقق: \(3 + 4 = 7 > 5\) ✓، و\(3 + 5 = 8 > 4\) ✓، و\(4 + 5 = 9 > 3\) ✓. اجتازت الشروط الثلاثة جميعها، إذن فإن 3-4-5 مثلث صحيح (بل هو في الواقع مثلث قائم الزاوية).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان مجموع ضلعين مساويًا تمامًا للضلع الثالث؟ هذا مثلث منحلّ بمساحة تساوي صفرًا، ولذلك تُصنِّفه الحاسبة على أنه ليس مثلثًا صحيحًا.
هل تؤثر وحدة القياس في النتيجة؟ لا، ما دامت الأضلاع الثلاثة تستخدم الوحدة نفسها، فالاختبار يقارن المقادير النسبية فقط.
لماذا أحتاج إلى التحقق من ثلاثة شروط فقط؟ كل زوج من الأضلاع يُعطي متباينةً واحدة، وللمثلث ثلاثة أزواج بالضبط، ومن ثَمّ فإن ثلاث عمليات تحقق تكفي لتحديد صحة المثلث بالكامل.
