什麼是圓環？
圓環是由兩個同心圓所圍成的扁平環狀區域：外圓的半徑為 \(r_1\)，內圓較小、半徑為 \(r_2\)（其中 \(r_1 > r_2\)）。兩圓之間的範圍就是圓環——想想墊片、光碟，或是田徑場上的環形跑道，就能立刻明白。只要你提供任意兩個已知量，這個計算器就能幫你求出圓環的所有性質。
使用方法
先從下拉選單中選出符合你「已知兩個量」的計算項目（例如「已知 \(r_1\)、\(r_2\)」或「已知 \(A_0\)、\(C_1\)」）。接著在輸入欄填入這兩個數值，需要時可調整圓周率 \(\pi\) 或選擇顯示單位，並設定要四捨五入到幾位有效數字。計算器會一次回傳全部七個數值：兩個半徑（\(r_1\)、\(r_2\)）、兩個周長（\(C_1\)、\(C_2\)）、兩個圓面積（\(A_1\)、\(A_2\)），以及圓環面積 \(A_0\)。
公式說明
對於半徑為 \(r\) 的圓，周長為 \(C = 2\pi r\)，面積為 \(A = \pi r^2\)。圓環面積就是大圓面積減去小圓面積：
$$A_0 = A_1 - A_2 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)$$若要反推，半徑可由周長求得 \(r = C / (2\pi)\)，或由圓面積求得 \(r = \sqrt{A / \pi}\)。當已知圓環面積搭配某一個圓的量時，會先用該量定出其中一個半徑，再透過 \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\) 求出另一個。因此每一種模式最後都只剩一個未知數，完全不需要解聯立方程式。
範例演算
已知 \(r_1 = 5\)、\(r_2 = 3\)（單位為 cm，\(\pi = 3.14159265359\)）：
$$C_1 = 2\pi(5) = 31.4159 \text{ cm}$$$$C_2 = 2\pi(3) = 18.8496 \text{ cm}$$$$A_1 = \pi(25) = 78.5398 \text{ cm}^2$$$$A_2 = \pi(9) = 28.2743 \text{ cm}^2$$$$A_0 = \pi(25 - 9) = \pi(16) = 50.2655 \text{ cm}^2$$更多求解例題
下面每個例題都使用標準環形關係。給定兩個量後，其他所有性質都可以從 \(C = 2\pi r\)、\(A = \pi r^2\) 和環面積 \(A_0 = \pi\left(r_1^2 - r_2^2\right)\) 推導出來。我們全程使用 \(\pi = 3.14159265\) 並將結果報告到 5 位有效數字。
例題 1 — 已知外圓周 \(C_1\) 和內半徑 \(r_2\)（模式 c1r2）
假設一個環的外圓周為 \(C_1 = 40\text{ cm}\)，內半徑為 \(r_2 = 5\text{ cm}\)。首先從圓周求出外半徑：
$$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{40}{2\times 3.14159265} = 6.3662\text{ cm}$$
現在計算其餘六個輸出：
- 外半徑：\(r_1 = 6.3662\text{ cm}\)
- 內半徑：\(r_2 = 5\text{ cm}\)
- 外圓周：\(C_1 = 40\text{ cm}\)（已知）
- 內圓周：\(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 5 = 31.416\text{ cm}\)
- 外圓面積：\(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 6.3662^2 = \)127.32\(\text{ cm}^2\)
- 內圓面積：\(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 5^2 = 78.540\text{ cm}^2\)
- 環面積：\(A_0 = A_1 - A_2 = 127.32 - 78.540 = \)48.784\(\text{ cm}^2\)
例題 2 — 已知環面積 \(A_0\) 和外半徑 \(r_1\)（模式 a0r1）
假設該環狀材料的環面積為 \(A_0 = 60\text{ in}^2\)，外半徑為 \(r_1 = 8\text{ in}\)。求解定義公式以得到內半徑：
$$r_2 = \sqrt{r_1^2 - \frac{A_0}{\pi}} = \sqrt{8^2 - \frac{60}{3.14159265}} = \sqrt{64 - 19.099} = \sqrt{44.901} = 6.7008\text{ in}$$
完整的七個輸出集合為：
- 外半徑：\(r_1 = 8\text{ in}\)（已知）
- 內半徑：\(r_2 = 6.7008\text{ in}\)
- 外圓周：\(C_1 = 2\pi r_1 = 2\times 3.14159265\times 8 = 50.265\text{ in}\)
- 內圓周：\(C_2 = 2\pi r_2 = 2\times 3.14159265\times 6.7008 = 42.102\text{ in}\)
- 外圓面積：\(A_1 = \pi r_1^2 = 3.14159265\times 8^2 = 201.06\text{ in}^2\)
- 內圓面積：\(A_2 = \pi r_2^2 = 3.14159265\times 6.7008^2 = 141.06\text{ in}^2\)
- 環面積：\(A_0 = 201.06 - 141.06 = 60\text{ in}^2\)（已知，確認解答）
例題 3 — 已知兩個半徑 \(r_1\) 和 \(r_2\)（模式 r1r2）
對於外半徑 \(r_1 = 12\text{ mm}\) 和內半徑 \(r_2 = 7\text{ mm}\) 的平墊圈，輸出可直接計算：
- 外半徑：\(r_1 = 12\text{ mm}\)
- 內半徑：\(r_2 = 7\text{ mm}\)
- 外圓周：\(C_1 = 2\pi\times 12 = 75.398\text{ mm}\)
- 內圓周：\(C_2 = 2\pi\times 7 = 43.982\text{ mm}\)
- 外圓面積：\(A_1 = \pi\times 12^2 = 452.39\text{ mm}^2\)
- 內圓面積：\(A_2 = \pi\times 7^2 = 153.94\text{ mm}^2\)
- 環面積：\(A_0 = \pi\left(12^2 - 7^2\right) = \pi\times 95 = \)298.45\(\text{ mm}^2\)
常見問題
它會換算單位嗎？不會。單位只是顯示用的標籤；所有輸入值都假設已經採用你選定的同一個長度單位，面積則為該單位的平方。
為什麼 \(r_1\) 一定要大於 \(r_2\)？圓環是兩圓之間的縫隙，所以外圓必須比內圓大。如果你的輸入導致 \(r_2 \ge r_1\)（出現負的開根號運算，或內圈數值比外圈還大），圓環就會退化，計算器會跳出錯誤提示。
可以更改圓周率 \(\pi\) 嗎？可以——預設值是 3.14159265359，但你也可以把 22/7 輸入為 3.142857，或填入任何你想用的正數。
