حاسبة مساحة الحلقة الدائرية

أدخل الحساب

نصف القطر الخارجي (R)

نصف القطر الداخلي (r)

نتائج

مساحة الحلقة الدائرية

٥٠٫٢٧

وحدات مربعة

عرض الحلقة (R − r)	٢
المحيط الخارجي	٣١٫٤٢
المحيط الداخلي	١٨٫٨٥

ما هي الحلقة الدائرية؟

الحلقة الدائرية هي المنطقة المسطحة على شكل حلقة المحصورة بين دائرتين متحدتي المركز — دائرة خارجية كبيرة نصف قطرها R ودائرة داخلية أصغر نصف قطرها r. تخيّل وردة (فلكة) معدنية، أو قرصاً مدمجاً (CD)، أو مقطعاً عرضياً لأنبوب، أو مضمار جري دائري. ومساحة الحلقة ببساطة هي مساحة القرص الكبير مطروحاً منها مساحة القرص الصغير.

الحلقة هي المنطقة المحصورة بين دائرتين متحدتي المركز نصفا قطريهما R وr.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخِل نصف القطر الخارجي (R) ونصف القطر الداخلي (r) بالوحدة نفسها. تعطيك الحاسبة فوراً مساحة الحلقة بالوحدات المربعة، إلى جانب عرض الحلقة (R − r) والمحيطين الداخلي والخارجي. تأكّد من أن R أكبر من r أو يساويها — فإذا تجاوز r قيمة R تُسجّل المساحة صفراً.

شرح المعادلة

مساحة الدائرة الكاملة تساوي π·نصف القطر². فالقرص الخارجي مساحته πR² والقرص الداخلي مساحته πr². وبطرح مساحة القرص الداخلي من الخارجي نحصل على مساحة الحلقة:

$$A = \pi R^{2} - \pi r^{2} = \pi\left(R^{2} - r^{2}\right)$$

إخراج π كعامل مشترك يجعل الحساب أبسط ويقلّل من خطأ التقريب.

مساحة الحلقة تساوي مساحة القرص الكبير ناقص مساحة القرص الصغير: \(A = \pi R^{2} - \pi r^{2}\).

مثال محلول

لنفترض أن لدينا وردة معدنية نصف قطرها الخارجي 5 سم ونصف قطر فتحتها الداخلية 3 سم. عندئذٍ تكون $$A = \pi\left(5^{2} - 3^{2}\right) = \pi(25 - 9) = \pi \times 16 \approx 50.27 \text{ سم}^{2}.$$ وعرض الحلقة هو \(5 - 3 = 2\) سم.

كيفية حساب مساحة الحلقة يدويًا

مساحة الحلقة هي مساحة الدائرة الكبيرة مطروحًا منها مساحة الدائرة الصغيرة. اتبع هذه الخطوات مع نصف القطر الخارجي \(R\) ونصف القطر الداخلي \(r\) (كلاهما بنفس الوحدات).

1. تحويل الأقطار إلى أنصاف أقطار إذا لزم الأمر. إذا قمت بقياس الأقطار، فقسّمها على اثنين أولاً: \(R = D_{\text{الخارجي}}/2\) و \(r = D_{\text{الداخلي}}/2\). على سبيل المثال، قطر خارجي 10 سم يعطي \(R = 5\) سم.
2. تربيع نصف القطر الخارجي. احسب \(R^2\). باستخدام \(R = 5\) سم: \(R^2 = 25\) سم².
3. تربيع نصف القطر الداخلي. احسب \(r^2\). باستخدام \(r = 4.5\) سم: \(r^2 = 20.25\) سم².
4. الطرح. أوجد \(R^2 - r^2 = 25 - 20.25 = 4.75\) سم². اطرح دائمًا نصف القطر المربع الأصغر من الأكبر.
5. الضرب في \(\pi\). \(A = \pi \times 4.75 \approx 3.14159 \times 4.75 = 14.92\) سم². هذه هي مساحة الحلقة.

بتجميع كل ذلك لمثال جدار الأنبوب هذا:

$$A = \pi\left(5^{2} - 4.5^{2}\right) = \pi\left(25 - 20.25\right) = \pi \times 4.75 \approx 14.92\ \text{سم}^2$$

ملاحظة تربيع الوحدات: بما أنك تربع أنصاف الأقطار، فإن المساحة الناتجة تحمل وحدات مربعة (سم²، م²، بوصة²). تأكد من أن كلا نصفي القطر يشتركان في نفس الوحدة قبل التربيع — خلط السنتيمترات والأمتار سينتج عنه إجابة خاطئة. إذا بدأت من قطر وتريد فحصًا سريعًا، فإن تقسيم قطر 9 سم على اثنين يعطي نصف قطر 4.5 سم، وهو ما يطابق نصف القطر الداخلي المستخدم أعلاه.

الأسئلة الشائعة

ماذا أفعل إذا كنت أعرف الأقطار فقط؟ اقسم كل قطر على 2 للحصول على نصف القطر أولاً، ثم أدخِل القيمتين.

هل يمكن أن يساوي R قيمة r؟ نعم — وحينها يكون عرض الحلقة صفراً والمساحة 0.

ما الوحدة التي تظهر بها النتيجة؟ أي وحدة تُدخِلها لنصف القطر، مربّعة. فإذا كان R وr بالبوصة، تكون المساحة بالبوصة المربعة.