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दायरे में मिले हल

counterexample (a, b) pairs for n = 2 to 5, a = 1 to 100

n	Solutions per n (sum of n consecutive nth powers = b^n)
2	a=3, b=5 ; a=20, b=29
3	a=3, b=6
4	--
5	--

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह फर्मा के अंतिम प्रमेय (Fermat's Last Theorem) से प्रेरित एक मनोरंजक संख्या-सिद्धांत खोज टूल है। फर्मा का प्रमेय कहता है कि पूर्णांक $n \ge 3$ के लिए ऐसे कोई धनात्मक पूर्णांक X, Y, Z नहीं होते जिनके लिए $X^n + Y^n = Z^n$ हो। यह टूल इस समीकरण के बाएँ पक्ष को व्यापक बनाकर उसे n लगातार n-वीं घातों का योग बना देता है, और इस प्रस्ताव की जाँच करता है: $n \ge 4$ के लिए ऐसी कोई भी प्राकृतिक संख्याएँ a, b नहीं होतीं जहाँ a से शुरू होने वाली n लगातार n-वीं घातों का योग $b^n$ के बराबर हो। आपके दिए दायरे में हर घातांक n के लिए यह हर प्रारंभिक आधार a को जाँचता है और जो भी (a, b) जोड़ी मिले उसे दिखाता है, या उस सीमा में कुछ न मिलने पर "--" छाप देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

जाँचने के लिए घातांक n का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान दर्ज करें ($n \ge 2$), तथा प्रारंभिक आधार a का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान दर्ज करें ($a \ge 1$)। टूल हर n पर चक्र (loop) चलाता है, और प्रत्येक a के लिए $S = a^n + (a+1)^n + \ldots + (a+n-1)^n$ की गणना करता है, S का पूर्णांक n-वाँ मूल निकालता है, और बड़े-पूर्णांक (big-integer) अंकगणित से उसे सटीक रूप से सत्यापित करता है। ध्यान रखें कि बड़े दायरों में खोज धीमी होती है, क्योंकि S बेहद तेज़ी से बढ़ता है।

सूत्र की व्याख्या

समीकरण है: $$\sum_{j=0}^{n-1}\left(a+j\right)^{n} = b^{n}, \qquad \begin{aligned} n &\in \left[\text{n Start},\, \text{n End}\right] \\ a &\in \left[\text{a Start},\, \text{a End}\right] \end{aligned}$$ फ्लोटिंग-पॉइंट से उत्पन्न झूठे परिणामों से बचने के लिए टूल S को एक सटीक बड़े पूर्णांक के रूप में निकालता है, द्विभाजन (bisection) से एक संभावित मूल b निकालता है, और फिर $b-1$, $b$ तथा $b+1$ को सटीक जाँच $b^n == S$ के साथ दोबारा परखता है। छोटे n के लिए ज्ञात हल मौजूद हैं: $n = 2$ पर $3^2 + 4^2 = 5^2$ और $20^2 + 21^2 = 29^2$; $n = 3$ पर $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$।

n क्रमागत n-घातों का योग b की n-घात के बराबर — समीकरण: n क्रमागत n-घातों का योग $b^n$ के बराबर।

हल किया गया उदाहरण

मान लें nStart = 3, nEnd = 3, aStart = 1, aEnd = 10। a = 3 पर: $$S = 27 + 64 + 125 = 216,$$ और 216 का पूर्णांक घनमूल 6 है जहाँ $6^3 = 216$। टूल इसे दर्ज करता है: $n = 3 \rightarrow a = 3,\ b = 6$।

क्रमागत घातों के योग की किसी पूर्ण घात से चरण-दर-चरण पुष्टि — जाँच कि क्या क्रमागत n-घातों की कोई शृंखला ठीक $b^n$ के बराबर होती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या यह प्रस्ताव को सिद्ध करता है? नहीं। यह केवल एक सीमित दायरे में प्रति-उदाहरण खोजता है; कुछ न मिलना किसी प्रमाण के समान नहीं है।

यह $n = 2$ और $n = 3$ की अनुमति क्यों देता है? इन स्थितियों के ज्ञात हल हैं, इसलिए टूल उन्हें प्रदर्शित कर सकता है — भले ही "कोई हल नहीं" वाला दावा केवल $n \ge 4$ पर लागू होता है।

यह टाइम-आउट क्यों हो सकता है? योग लगभग $n \cdot (a + n)^n$ की दर से बढ़ता है, इसलिए बड़े दायरे विशाल संख्याएँ बना देते हैं; दायरों को छोटा ही रखें।

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