第一类惠特克函数 M_{k,m}(z) 计算器

输入计算

结果

第一类惠特克函数 M_{k,m}(z)

0.076828057

M = e^(-z/2) z^(m+1/2) 1F1(m-k+1/2; 2m+1; z)

a = m - k + 1/2	1.5
b = 2m + 1	7

什么是惠特克函数 M_{k,m}(z)？

第一类惠特克函数 M_{k,m}(z) 是一个特殊函数，它是惠特克微分方程 y'' + ( 1/4 − k/z + (m^2 − 1/4)/z^2 ) y = 0 的一个解。该方程的通解由 M_{k,m}(z) 与第二类惠特克函数 W_{k,m}(z) 线性组合而成。本计算器只返回 M_{k,m}(z)，即由库默尔合流超几何函数构造出的正则解。它在数学物理中应用广泛，例如径向库仑波函数和抛物柱面问题。由于这属于纯数学，结果具有普适性，不依赖任何地区或国家的特定假设。

惠特克 M 函数的折线图，从原点上升、达到峰值，并随 z 增大而衰减 — z > 0 时第一类惠特克函数 M_{k,m}(z) 的典型形状。

如何使用本计算器

请输入三个实数：参数 k、m 以及自变量 z。建议取 z > 0，这样当 m 为非整数时 z^(m+1/2) 才能给出实数结果。请避免使 2m+1 成为非正整数的 m 值（即 m = 0、−1/2、−1、……），因为此时级数分母会出现极点。精度选择器仅控制显示的有效位数；底层采用双精度浮点计算，对中等规模的输入（大致 |z| 不超过 30）保持准确。

公式详解

令 a = m − k + 1/2，b = 2m + 1，则该函数为 M = e^(−z/2) · z^(m+1/2) · 1F1(a; b; z)。合流超几何级数 1F1 采用逐项递推求和，递推公式为 term_n = term_{n−1} · (a + n − 1)/(b + n − 1) · z/n，初始项 term_0 = 1。累加各项直至其相对于当前部分和可忽略不计为止，并设置上限以防止无限循环。

将惠特克 M 公式分解为三个相乘因子的示意图 — M_{k,m}(z) 是指数衰减、幂因子和库默尔 1F1 级数的乘积。

计算实例

设 k = 2，m = 3，z = 0.5。则 a = 3 − 2 + 0.5 = 1.5，b = 7。级数 1F1(1.5; 7; 0.5) 收敛到约 1.1160881。前置因子为 e^(−0.25) = 0.7788008 乘以 0.5^3.5 = 0.0883883，得 0.0688384。再乘以级数值，最终得 M_{2,3}(0.5) ≈ 0.0768344。