ホイタッカー関数 \(M_{k,m}(z)\) とは
第1種ホイタッカー関数 \(M_{k,m}(z)\) は、ホイタッカーの微分方程式 \(y'' + \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{k}{z} + \tfrac{m^2 - 1/4}{z^2} \right) y = 0\) を満たす特殊関数です。一般解は \(M_{k,m}(z)\) と第2種ホイタッカー関数 \(W_{k,m}(z)\) の組み合わせで表されますが、本ツールが返すのはクンマーの合流型超幾何関数から構成される正則解 \(M_{k,m}(z)\) のみです。クーロン波動関数の動径成分や放物柱関数の問題など、数理物理のさまざまな場面に登場します。純粋な数学であり、地域や国による前提は一切ありません。
使い方
3つの実数、すなわちパラメータ \(k\) と \(m\)、そして引数 \(z\) を入力します。非整数の \(m\) に対して \(z^{m+1/2}\) が実数値となるよう、\(z > 0\) としてください。\(2m+1\) が0以下の整数になる \(m\) の値（\(m = 0, -1/2, -1, \ldots\)）は避けてください。これらの値では級数の分母に極が生じてしまうためです。なお、精度の選択は表示桁数を変えるだけで、内部計算は倍精度で行われ、中程度の入力（おおよそ \(|z|\) が30程度まで）であれば十分な精度が得られます。
計算式の解説
\(a = m - k + \tfrac{1}{2}\)、\(b = 2m + 1\) とおくと、関数は $$M = e^{-z/2} \cdot z^{m+\frac{1}{2}} \cdot {}_1F_1(a; b; z)$$ と表されます。合流型超幾何級数 \({}_1F_1\) は、\(\text{term}_0 = 1\) を初項とし、漸化式 $$\text{term}_n = \text{term}_{n-1} \cdot \frac{a + n - 1}{b + n - 1} \cdot \frac{z}{n}$$ に従って各項を逐次計算しながら足し合わせます。各項が部分和に対して無視できるほど小さくなるまで加算を続け、無限ループを避けるために上限を設けています。
計算例
\(k = 2\)、\(m = 3\)、\(z = 0.5\) とします。このとき \(a = 3 - 2 + 0.5 = 1.5\)、\(b = 7\) となります。級数 \({}_1F_1(1.5; 7; 0.5)\) は約 \(1.1160881\) に収束します。前因子は \(e^{-0.25} = 0.7788008\) に \(0.5^{3.5} = 0.0883883\) を掛けた \(0.0688384\) です。これに級数の値を掛けると、\(M_{2,3}(0.5)\) はおよそ \(0.0768344\) となります。
よくある質問
なぜ \(z\) は正でなければならないのですか？ \(m + 1/2\) が非整数のとき、因子 \(z^{m+1/2}\) は \(z \le 0\) で多価または複素数になるため、実数の結果を得るには \(z > 0\) が必要です。\(z = 0\) では、\(m + 1/2 > 0\) のとき関数値は 0 になります。
\(2m+1\) が0以下の整数のときはどうなりますか？ 分母のポッホハマー記号がゼロになり級数が定義できないため、本ツールは 0 を返します。\(m\) の値を変更してください。
級数は必ず収束しますか？ はい。\({}_1F_1\) は \(z\) について整関数です。ただし \(|z|\) が大きいと収束が遅く、通常の倍精度では精度が落ちる場合があります。
