Kosinüs Benzerliği Nedir?
Kosinüs benzerliği, iki vektörün ne kadar benzer olduğunu büyüklüklerine değil aralarındaki açıya bakarak ölçer. Sonuç −1 ile 1 arasında bir değer alır: 1, vektörlerin tam olarak aynı yöne işaret ettiği; 0, dik (yani ilişkisiz) oldukları; −1 ise tam ters yönlere baktıkları anlamına gelir. Metin madenciliği, öneri sistemleri, bilgi erişimi ve makine öğrenmesinde belgeleri, gömülü vektörleri (embedding) veya özellik vektörlerini karşılaştırmak için yaygın olarak kullanılır.
Bu Aracı Nasıl Kullanırsınız?
A Vektörü ve B Vektörü bileşenlerini virgülle ayrılmış sayılar olarak girin. İki vektörün de boyut sayısı aynı olmalıdır; farklıysa hesaplama aracı kısa olanın uzunluğunu temel alır. Hesapla düğmesine bastığınızda kosinüs benzerliğini, nokta çarpımını, her vektörün büyüklüğünü ve iki vektör arasındaki açıyı derece cinsinden görürsünüz.
Formülün Açıklaması
Kosinüs benzerliği, iki vektörün nokta çarpımının, bunların Öklid normlarının (büyüklüklerinin) çarpımına bölünmesiyle bulunur:
$$\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{A} \rVert \, \lVert \vec{B} \rVert} = \frac{\sum_{i=1}^{n} A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} A_i^{2}} \; \sqrt{\sum_{i=1}^{n} B_i^{2}}}$$Nokta çarpımı \(\vec{A} \cdot \vec{B}\), bileşenlerin teker teker çarpılıp toplanmasıyla elde edilir. Büyüklük \(\lVert \vec{A} \rVert\) ise bileşenlerin karelerinin toplamının kareköküdür. Büyüklüklere bölmek sonucu normalize eder; böylece değer yalnızca yöne bağlı olur, uzunluğa değil.
Örnek Hesaplama
A = [1, 2, 3] ve B = [4, 5, 6] olsun. Nokta çarpımı $$1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$ olur. A'nın büyüklüğü \(\sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3{,}7417\), B'nin büyüklüğü ise \(\sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8{,}7750\)'dir. Buna göre $$\cos\theta = \frac{32}{3{,}7417 \times 8{,}7750} \approx \frac{32}{32{,}8329} \approx 0{,}9746$$ çıkar; bu da yaklaşık 12,93°'lik bir açıya karşılık gelir.
Sıkça Sorulan Sorular
Sonuç negatif olabilir mi? Evet. Vektörler kabaca ters yönlere işaret ediyorsa kosinüs benzerliği negatif olur ve tam ters yönlerde −1'e kadar düşer.
Vektörlerin uzunlukları farklıysa ne olur? Hesaplama aracı yalnızca örtüşen boyutları (kısa vektörün uzunluğunu) karşılaştırır. Anlamlı sonuçlar için boyutları eşit vektörler kullanın.
Bu, Öklid uzaklığından nasıl farklıdır? Kosinüs benzerliği büyüklüğü göz ardı eder ve yönelime odaklanır; dolayısıyla aynı yöne bakan iki vektör, biri çok daha uzun olsa bile tamamen benzer sayılır.
