ما هي طريقة الموضع الزائف؟
طريقة الموضع الزائف (وتُعرف باللاتينية باسم regula falsi، كما تُسمى أحيانًا "طريقة المقص") هي إحدى تقنيات إيجاد الجذور الحاصِرة لحل المعادلة \(f(x) = 0\). وعلى غرار طريقة التنصيف، فهي تحتاج إلى فترة بداية \([a, b]\) تتغير عليها إشارة الدالة، بحيث يضمن الشرط \(f(a)\cdot f(b) \le 0\) وجود جذر بين \(a\) و\(b\). لكن بدلًا من تنصيف الفترة في كل مرة، ترسم هذه الطريقة خطًا مستقيمًا يصل بين طرفي الفترة وتأخذ نقطة تقاطع هذا الخط مع المحور السيني كتقدير جديد للجذر، وهو ما يجعلها عادةً أسرع تقاربًا من طريقة التنصيف.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل دالتك بصيغة \(f(x)\) مستخدمًا الرموز المعتادة: + - * / ^، والأقواس، والدوال مثل sin وcos وtan وexp وlog وln وsqrt وabs وcbrt. حدّد الطرف الأدنى \(a\) والطرف الأعلى \(b\) بحيث تكون إشارتا \(f(a)\) و\(f(b)\) متعاكستين. اختر العدد الأقصى للتكرارات وعدد الأرقام المعنوية المطلوب عرضها. تُظهر النتيجة الجذر التقريبي \(x\)، وعدد التكرارات التي جرى تنفيذها، والباقي \(f(x)\) الذي ينبغي أن يكون قريبًا جدًا من الصفر.
شرح المعادلة
في كل خطوة يكون التقدير التالي هو نقطة تقاطع الخط القاطع المار بطرفي الفترة مع المحور السيني:
$$x_n = \frac{a_n\cdot f(b_n) - b_n\cdot f(a_n)}{f(b_n) - f(a_n)}$$إذا كانت إشارة \(f(x_n)\) مماثلة لإشارة \(f(a_n)\)، فإن \(a\) يُستبدل بـ \(x_n\)؛ وإلا فإن \(b\) هو الذي يُستبدل. وبهذا يبقى تغيّر الإشارة — ومن ثم الجذر المحصور — قائمًا. تتوقف التكرارات عندما تنخفض القيمة \(|f(x_n)|\) دون مستوى التسامح (نحو 1e-12) أو عند بلوغ الحد الأقصى للتكرارات.
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = x - \cos(x)\) على الفترة \([-10, 10]\): نجد أن \(f(-10) \approx -10.839\) (قيمة سالبة) و\(f(10) \approx 10.839\) (قيمة موجبة)، وبذلك تحصر الفترة جذرًا. تتقارب الطريقة نحو القيمة \(x \approx 0.7390851332\)، حيث يكون \(f(x) \approx 0\). وهذه القيمة هي النقطة الثابتة الشهيرة لدالة جيب التمام.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون \(f(a)\cdot f(b) \le 0\)؟ يضمن تغيّر الإشارة أن الدالة المتصلة تعبر الصفر داخل الفترة. وبدون ذلك قد لا يكون هناك جذر تبحث عنه الطريقة، وتُصدر الأداة تنبيهًا بذلك.
لماذا قد يكون التقارب بطيئًا؟ في الدوال ذات الانحناء الشديد، قد يبقى أحد طرفي الفترة ثابتًا، مما يؤدي إلى تقارب خطي بطيء. وهذا سلوك طبيعي لطريقة الموضع الزائف، ولهذا السبب يُوضع حد أقصى لعدد التكرارات.
ماذا لو كان المقام يساوي صفرًا؟ إذا تساوت قيمة \(f(b)\) مع \(f(a)\)، يصبح الخط القاطع أفقيًا ولا توجد نقطة تقاطع وحيدة؛ وعندها تُصدر الحاسبة رسالة خطأ بدلًا من القسمة على صفر.
