Что такое функция Куммера M(a,b,z)?
Вырожденная гипергеометрическая функция первого рода, обозначаемая \(M(a,b,z)\) или \({}_1F_1(a;b;z)\), — это одно из двух независимых решений дифференциального уравнения Куммера \(z\cdot y'' + (b - z)\cdot y' - a\cdot y = 0\). Она встречается повсюду в физике и прикладной математике: в квантовой механике (радиальная кулоновская волновая функция), в теории вероятностей (нецентральное распределение хи-квадрат и связанные с ним), в задачах теплопроводности и в представлениях функций Бесселя. Этот калькулятор вычисляет её для вещественных параметров \(a\) и \(b\) и вещественного аргумента \(z\). Это чисто математический инструмент — в нём нет привязки к стране, валюте или единицам измерения.
Как пользоваться
Введите первый параметр \(a\), второй параметр \(b\) и аргумент \(z\) — и получите значение \(M(a,b,z)\). Значение \(b\) не должно быть нулём или отрицательным целым числом, иначе знаменатель обращается в ноль; такие данные калькулятор помечает как недопустимые. Если же \(a\) — неположительное целое число, ряд обрывается, и \(M\) превращается в многочлен от \(z\). Это не ошибка, а корректное поведение функции.
Разбор формулы
Ряд суммирует слагаемые $$M\!\left(a,\, b,\, z\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(b)_n} \frac{z^{\,n}}{n!}$$ где символ Похгаммера \((x)_n = x(x+1)\cdots(x+n-1)\). Вместо того чтобы отдельно считать факториалы и возрастающие факториалы, калькулятор получает каждое слагаемое из предыдущего по формуле \(t_{n+1} = t_n \cdot \frac{a+n}{b+n} \cdot \frac{z}{n+1}\), начиная с \(t_0 = 1\). Суммирование прекращается, когда новое слагаемое становится пренебрежимо малым по сравнению с накопленной суммой (порядка \(\text{1e-17}\)), либо по достижении безопасного предела числа итераций.
Разобранный пример
Для \(a = 2\), \(b = 3\), \(z = 0{,}5\) слагаемые равны \(1,\ 0{,}33333,\ 0{,}0625,\ 0{,}0083333,\ 0{,}00086806,\ 0{,}000074405,\ \ldots\) что в сумме даёт \(M(2,3,0.5) \approx 1{,}4051145\).
Частые вопросы
Чему равно \(M(a,b,0)\)? Всегда ровно 1, при любых \(a\) и \(b\), ведь каждое слагаемое после первого содержит множитель \(z\).
Почему на \(b\) наложены ограничения? При нуле или отрицательном целом \(b\) знаменатель Похгаммера \((b)_n\) обращается в ноль, поэтому в таких точках функция не определена.
Точен ли результат при больших \(z\)? Ряд сходится при любом конечном \(z\), но большие положительные \(z\) приводят к взаимному сокращению слагаемых, которое съедает точность двойной разрядности. Для надёжных цифр держите \(|z|\) умеренным (примерно до 50).
