ما هو تركيز الحاملات الذاتية؟
تركيز الحاملات الذاتية \(n_i\) هو عدد الإلكترونات الحرة (المساوي لعدد الفجوات) في كل سنتيمتر مكعب داخل شبه موصل نقي غير مطعّم في حالة التوازن الحراري. وهو من أهم الكميات الأساسية في فيزياء النبائط الإلكترونية: فهو يحدد تيار التسرّب في الثنائيات، والتيار المظلم في الكواشف، وحساسية الترانزستورات لدرجة الحرارة. تمتلك المواد ذات الفجوة الواسعة مثل كربيد السيليكون قيمة \(n_i\) ضئيلة جدًا، في حين تكون أكبر بكثير في المواد ذات الفجوة الضيقة مثل الجرمانيوم.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الكثافة الفعّالة للحالات في نطاق التوصيل (\(N_c\)) ونطاق التكافؤ (\(N_v\)) بوحدة cm⁻³، وطاقة فجوة العصابة \(E_g\) بوحدة إلكترون-فولت، ودرجة الحرارة المطلقة \(T\) بوحدة كلفن. تُرجع لك الحاسبة قيمة \(n_i\) إلى جانب المتوسط الهندسي \(\sqrt{N_c \cdot N_v}\) وعامل بولتزمان الأسّي، بحيث ترى مساهمة كل جزء في النتيجة.
شرح المعادلة
الصيغة هي $$n_i = \sqrt{\text{N}_c \cdot \text{N}_v}\;\exp\!\left(-\frac{\text{E}_g}{2\,k\,\text{T}}\right)$$ يعكس المعامل \(\sqrt{N_c \cdot N_v}\) عدد الحالات المتاحة قرب حواف العصابات، بينما يصف الحدّ الأسّي — وهو عامل بولتزمان — كيف تدفع الطاقة الحرارية الإلكترونات لعبور الفجوة. ولأن \(n_i\) يعتمد أسّيًا على \(-E_g/2kT\)، فإنه يرتفع بشدة مع ارتفاع درجة الحرارة وينخفض بحدّة كلما اتسعت الفجوة. هنا \(k = 8.617333262\times10^{-5}\ \text{eV/K}\) كي تتشارك \(E_g\) وكذلك \(kT\) الوحدة الطاقية نفسها.
مثال محلول
بالنسبة للسيليكون عند 300 K مع \(N_c = 2.8\times10^{19}\)، وكذلك \(N_v = 1.04\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}\)، وكذلك \(E_g = 1.12\ \text{eV}\): يكون \(\sqrt{N_c \cdot N_v} = \sqrt{2.912\times10^{38}} \approx 1.7065\times10^{19}\). أما الأُسّ فهو \(-1.12 / (2 \cdot 8.617333262\times10^{-5} \cdot 300) \approx -21.66\)، ما يعطي \(\exp \approx 3.91\times10^{-10}\). وبالتالي \(n_i \approx 6.68\times10^{9}\ \text{cm}^{-3}\)، وهي قيمة قريبة من القيمة المرجعية في الكتب الدراسية البالغة نحو \(10^{10}\ \text{cm}^{-3}\) (والفروق الطفيفة ترجع إلى الكتل الفعّالة المختارة).
الأسئلة الشائعة
لماذا تستخدم \(n_i\) المقدار \(2kT\) بدلًا من \(kT\)؟ لأن مستوى فيرمي يقع تقريبًا في منتصف الفجوة، فيكون كل حامل بمثابة «نصف» زوج إلكترون-فجوة، ومن ثمّ تُقتسم طاقة الفجوة، فيظهر العامل 2 في المقام.
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ \(N_c\) وكذلك \(N_v\) بوحدة cm⁻³، وكذلك \(E_g\) بوحدة eV، وكذلك \(T\) بوحدة كلفن. وعندها تكون النتيجة بوحدة cm⁻³.
هل تصلح هذه الصيغة لأي شبه موصل؟ نعم — فهي علاقة فيزيائية عامة. ما عليك سوى إدخال القيم الصحيحة لـ \(N_c\) وكذلك \(N_v\) وكذلك \(E_g\) الخاصة بمادتك ودرجة حرارتها.
