真性キャリア濃度とは？
真性キャリア濃度 \(n_i\) とは、不純物を添加していない（ノンドープの）純粋な半導体が熱平衡状態にあるとき、1立方センチメートルあたりに存在する自由電子の数を指します。このとき電子の数は正孔の数と等しくなります。\(n_i\) はデバイス物理において最も基本的な量の一つであり、ダイオードのリーク電流、検出器の暗電流、トランジスタの温度感度などを決定づけます。炭化ケイ素のようなワイドギャップ材料では \(n_i\) は極めて小さく、一方ゲルマニウムのようなナローギャップ材料ではかなり大きな値になります。
計算機の使い方
伝導帯の有効状態密度（\(N_c\)）と価電子帯の有効状態密度（\(N_v\)）を cm⁻³ 単位で、バンドギャップエネルギー \(E_g\) を電子ボルト（eV）単位で、そして絶対温度 \(T\) をケルビン（K）単位で入力してください。計算機は \(n_i\) に加えて、幾何平均 \(\sqrt{N_c \cdot N_v}\) とボルツマン因子（指数項）も返します。これにより、各要素が結果にどう寄与しているかが一目で分かります。
計算式の解説
式は $$n_i = \sqrt{\text{N}_c \cdot \text{N}_v}\;\exp\!\left(-\frac{\text{E}_g}{2\,k\,\text{T}}\right)$$ です。前置因子 \(\sqrt{N_c \cdot N_v}\) はバンド端付近で利用可能な状態数を反映し、指数項であるボルツマン因子は、熱エネルギーによって電子がバンドギャップを越えて励起される度合いを表します。\(n_i\) は \(-E_g/2kT\) に対して指数関数的に依存するため、温度の上昇とともに急激に増加し、バンドギャップが広いほど急激に減少します。ここで \(k = 8.617333262 \times 10^{-5}\ \text{eV/K}\) であり、\(E_g\) と \(kT\) が同じエネルギー単位になるよう揃えています。
計算例
300 K のシリコンで \(N_c = 2.8 \times 10^{19}\)、\(N_v = 1.04 \times 10^{19}\ \text{cm}^{-3}\)、\(E_g = 1.12\ \text{eV}\) の場合を考えます。まず $$\sqrt{N_c \cdot N_v} = \sqrt{2.912 \times 10^{38}} \approx 1.7065 \times 10^{19}.$$ 指数部分は \(-1.12 / (2 \cdot 8.617333262 \times 10^{-5} \cdot 300) \approx -21.66\) となり、\(\exp \approx 3.91 \times 10^{-10}\) です。したがって \(n_i \approx 6.68 \times 10^{9}\ \text{cm}^{-3}\) となり、教科書的な値である約 \(10^{10}\ \text{cm}^{-3}\) にほぼ一致します（わずかな差は、採用する有効質量の違いに起因します）。
よくある質問（FAQ）
なぜ kT ではなく 2kT を使うのですか？ フェルミ準位がほぼバンドギャップの中央に位置するためです。各キャリアは電子・正孔対の「半分」に相当し、ギャップエネルギーが両者で分け合われる形になるため、分母に係数 2 が現れます。
どの単位を使えばよいですか？ \(N_c\) と \(N_v\) は cm⁻³、\(E_g\) は eV、\(T\) はケルビンで入力してください。結果は cm⁻³ で得られます。
どんな半導体にも使えますか？ はい。これは普遍的に成り立つ物理関係式です。対象とする材料と温度に応じた正しい \(N_c\)、\(N_v\)、\(E_g\) を入力するだけで利用できます。
