Калькулятор собственной концентрации носителей заряда

Введите расчет

Плотность состояний в зоне проводимости Nc (см⁻³)

Плотность состояний в валентной зоне Nv (см⁻³)

Ширина запрещённой зоны Eg (эВ)

Температура T (К)

Результатов

Собственная концентрация носителей

66,75899E8

см⁻³

√(Nc·Nv)	1706,458E16 cm⁻³
exp(−Eg / 2kT)	391,2137E-12

Что такое собственная концентрация носителей?

Собственная концентрация носителей n_i — это число свободных электронов (равное числу дырок) в кубическом сантиметре чистого, нелегированного полупроводника при тепловом равновесии. Это одна из ключевых величин в физике приборов: именно она определяет ток утечки диодов, тёмновой ток фотоприёмников и температурную чувствительность транзисторов. У широкозонных материалов вроде карбида кремния значение n_i крошечное, а у узкозонных, например германия, оно значительно больше.

Тепловая генерация равного числа электронов и дырок через запрещённую зону в собственном полупроводнике.

Как пользоваться калькулятором

Введите эффективную плотность состояний в зоне проводимости (N_c) и в валентной зоне (N_v) в см⁻³, ширину запрещённой зоны E_g в электронвольтах и абсолютную температуру T в кельвинах. Калькулятор выдаёт значение n_i, а также среднее геометрическое \(\sqrt{\text{N}_c \cdot \text{N}_v}\) и экспоненциальный множитель Больцмана — так вы увидите вклад каждой составляющей.

Разбор формулы

Выражение выглядит так: $$n_i = \sqrt{\text{N}_c \cdot \text{N}_v}\;\exp\!\left(-\frac{\text{E}_g}{2\,k\,\text{T}}\right)$$ Предэкспоненциальный множитель \(\sqrt{\text{N}_c \cdot \text{N}_v}\) отражает доступные состояния у краёв зон, а экспоненциальный член — фактор Больцмана — показывает, как тепловая энергия перебрасывает электроны через запрещённую зону. Поскольку n_i зависит экспоненциально от \(-\text{E}_g/2k\text{T}\), эта величина резко растёт с температурой и стремительно падает при увеличении ширины зоны. Здесь \(k = 8{,}617333262\times10^{-5}\) эВ/К, чтобы E_g и \(k\text{T}\) были выражены в одних и тех же единицах энергии.

n_i экспоненциально растёт с температурой из-за множителя Больцмана.

Пример расчёта

Для кремния при 300 К с \(\text{N}_c = 2{,}8\times10^{19}\), \(\text{N}_v = 1{,}04\times10^{19}\) см⁻³ и \(\text{E}_g = 1{,}12\) эВ получаем: $$\sqrt{\text{N}_c \cdot \text{N}_v} = \sqrt{2{,}912\times10^{38}} \approx 1{,}7065\times10^{19}$$ Показатель экспоненты равен $$-\frac{1{,}12}{2 \cdot 8{,}617333262\times10^{-5} \cdot 300} \approx -21{,}66,$$ что даёт \(\exp \approx 3{,}91\times10^{-10}\). Таким образом, \(n_i \approx 6{,}68\times10^{9}\) см⁻³ — это близко к табличному значению около \(10^{10}\) см⁻³ (небольшие расхождения связаны с выбором эффективных масс).

Частые вопросы

Почему в формуле стоит 2kT, а не kT? Потому что уровень Ферми расположен примерно в середине запрещённой зоны, и каждый носитель — это «половинка» электронно-дырочной пары, так что энергия зоны делится пополам. Отсюда и двойка в знаменателе.

В каких единицах вводить данные? N_c и N_v — в см⁻³, E_g — в эВ, T — в кельвинах. Результат при этом получается в см⁻³.

Подходит ли это для любого полупроводника? Да — это универсальное физическое соотношение. Достаточно подставить корректные значения N_c, N_v и E_g для вашего материала и температуры.