这个计算器能做什么
本工具用于数值计算半无限区间上的定积分 \(I = \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx\)，采用专为半直线设计的双指数 (DE) 求积法。DE 方法是一种通用且高精度的算法，尤其适合在无穷远处呈代数衰减（即幂律衰减，如 \(1/x^{p}\)）的被积函数，同时也能处理在下端点 \(x = a\) 处带有轻微奇点的情形。需要注意的是，它并不适用于周期型或振荡型被积函数。
使用方法
请将被积函数 \(f(x)\) 以变量 \(x\) 的数学表达式形式输入（支持 + - * / ^、括号，以及 sqrt、exp、log、log10、sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、abs 等函数，还可使用常数 pi 和 e）。接着输入有限的下限 \(a\)，选择结果显示的有效位数，然后提交即可。返回结果即为该积分的数值。
公式原理
通过变量代换 \(\phi(t) = \exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)，将半直线映射到整条实轴，于是 \(x = a + \phi(t)\) 会随 \(t\) 从 \(a\)（当 \(t \to -\infty\)）扫至 \(+\infty\)。其导数为 \(\phi^{\prime}(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh(t)\,\exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)。变换后的被积函数 \(g(t) = f(a + \phi(t))\,\phi^{\prime}(t)\) 在两端均以双指数速度衰减，因此在均匀网格上直接套用简单的梯形公式即可逼近最优精度：$$I \approx h\sum_{k=-N}^{N} g(kh).$$ 对于会导致溢出的节点（\(t\) 较大时），由于被积函数在那里实际上已趋近于零，故直接跳过。
计算示例
取 \(f(x) = 1/(1 + x^{3/2})\)、\(a = 0\)，其精确值为 \(\dfrac{4\pi}{3\sqrt{3}} \approx 2.4183991523\)。当 \(h = 1/16\) 时，DE 求和能将该结果还原到多位有效数字。以 \(t = 0\) 为例：\(\phi = 1\)，\(x = 1\)，\(f = 0.5\)，\(\phi^{\prime} = \tfrac{\pi}{2} \approx 1.5708\)，因此 \(g \approx 0.7854\)；将所有加权节点累加后，结果收敛到 \(2.41840\)。
常见问题
能用于指数衰减型的被积函数吗？可以使用，但对于纯指数衰减，另一种 DE 映射的收敛速度更快；本变体主要针对代数衰减的情形。
为什么振荡型被积函数会失效？对一个不衰减的振荡函数做梯形求和并不会收敛，因此用于半直线的 DE 求积法在这种情形下并不适用。
有效位数设置会改变什么？它只影响显示结果的舍入精度；内部运算始终采用完整的双精度浮点。
