이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 반무한 구간에서의 정적분 \(I = \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx\) 를 이중지수(DE) 구적법 중 반직선(half-line)용 변형 공식으로 수치 계산합니다. DE 방법은 정확도가 매우 높은 범용 적분 기법으로, 무한대로 갈수록 대수적(거듭제곱 형태, 예: \(1/x^{p}\))으로 감소하는 피적분함수에 특히 잘 맞으며, 하한 끝점 \(x = a\) 부근에 약한 특이점이 있어도 처리할 수 있습니다. 단, 주기적이거나 진동하는 피적분함수에는 적합하지 않습니다.
사용 방법
피적분함수 f(x)를 변수 x에 대한 수식으로 입력하세요(+ - * / ^, 괄호, 그리고 sqrt, exp, log, log10, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs 함수와 상수 pi, e를 지원합니다). 유한한 하한 a를 입력하고, 표시할 유효숫자 자릿수를 선택한 뒤 실행하세요. 결과로 적분의 수치값이 출력됩니다.
공식 풀이
반직선은 변수변환 \(\phi(t) = \exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\)를 통해 실수 전체 직선으로 사상됩니다. 따라서 \(x = a + \phi(t)\)는 (\(t \to -\infty\)일 때) a에서 시작해 \(+\infty\)까지 훑게 됩니다. 그 도함수는 \(\phi^{\prime}(t) = \tfrac{\pi}{2}\cdot\cosh(t)\cdot\exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\)입니다. 변환된 피적분함수 \(g(t) = f(a + \phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t)\)는 양쪽 끝에서 이중지수적으로 감소하므로, 균일 격자 위에서의 단순 사다리꼴 공식만으로도 거의 최적의 정확도를 얻습니다:
$$I \approx h\cdot\sum_{k=-N}^{N} g(kh).$$오버플로가 발생하는 노드(큰 t)는 그 지점에서 피적분함수가 사실상 0이므로 건너뜁니다.
계산 예시
\(f(x) = 1/(1 + x^{3/2})\), \(a = 0\)인 경우 정확한 값은 \(\dfrac{4\pi}{3\sqrt{3}} \approx 2.4183991523\) 입니다. \(h = 1/16\)로 계산한 DE 합은 이 값을 소수점 여러 자리까지 재현합니다. \(t = 0\)일 때: \(\phi = 1\), \(x = 1\), \(f = 0.5\), \(\phi^{\prime} = \pi/2 \approx 1.5708\) 이므로 \(g \approx 0.7854\) 입니다. 가중된 모든 노드를 합하면 \(2.41840\)으로 수렴합니다.
자주 묻는 질문
지수적으로 감소하는 피적분함수에도 쓸 수 있나요? 작동은 하지만, 순수 지수 감소의 경우에는 다른 DE 사상 공식이 더 빠르게 수렴합니다. 이 변형 공식은 대수적 감소를 겨냥한 것입니다.
진동하는 피적분함수는 왜 실패하나요? 감소하지 않는 진동 함수의 사다리꼴 합은 수렴하지 않기 때문에, 반직선용 DE 구적법은 그런 경우에 적합하지 않습니다.
자릿수 설정은 무엇을 바꾸나요? 화면에 표시되는 반올림 자릿수만 바꿉니다. 내부 계산은 항상 완전한 배정밀도(double precision)로 이루어집니다.
