¿Qué es la traza de una matriz?
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal, es decir, los que van desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha. Se denota \(\operatorname{tr}(A)\). La traza solo está definida para matrices cuadradas (con el mismo número de filas que de columnas) y constituye uno de los resúmenes numéricos más útiles de una matriz en álgebra lineal.
Cómo usar esta calculadora
Elige el tamaño de tu matriz (2×2, 3×3 o 4×4) e introduce únicamente los elementos de la diagonal: \(\text{A}_{11}\), \(\text{A}_{22}\), … Como la traza depende solo de la diagonal, los valores fuera de ella no influyen y no hace falta escribirlos. La calculadora te devuelve la suma al instante.
La fórmula, paso a paso
Para una matriz A de tamaño n×n, la traza es:
$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \dots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$
Basta con recorrer la diagonal y sumar cada elemento. El resultado es un único escalar.
Ejemplo resuelto
Tomemos una matriz 3×3 cuyos elementos diagonales son 4, −2 y 7 (los valores fuera de la diagonal pueden ser cualesquiera). Entonces $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = 9.$$ Así de sencillo: la traza es 9 sin importar el resto de los elementos de la matriz.
Preguntas frecuentes
¿Sirve la traza para matrices no cuadradas? No. La traza solo está definida para matrices cuadradas, ya que un elemento diagonal \(\text{A}_{ii}\) exige que el número de filas y de columnas coincida.
¿Por qué es útil la traza? Coincide con la suma de los valores propios de la matriz, es invariante bajo transformaciones de semejanza y aparece por todas partes en estadística, física y aprendizaje automático.
¿Se cumple \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\)? Sí; la traza es lineal, de modo que la traza de una suma es igual a la suma de las trazas, y \(\operatorname{tr}(cA) = c \cdot \operatorname{tr}(A)\) para cualquier escalar c.
