什么是矩阵的迹？
方阵的迹（trace）是指其主对角线上所有元素之和——也就是从左上角到右下角这条对角线上的元素。它通常记作 \(\operatorname{tr}(A)\)。迹只对方阵（行数与列数相等的矩阵）有定义，是线性代数中用单个数值概括一个矩阵特征的最实用方式之一。
如何使用这个计算器
先选择矩阵的阶数（2×2、3×3 或 4×4），然后只需填入对角线上的元素 \(\text{A}_{11}\)、\(\text{A}_{22}\)、……即可。由于迹只取决于对角线元素，非对角线上的数值毫无影响，你完全不必输入它们。计算器会立刻给出结果。
公式详解
对于一个 \(n\times n\) 的矩阵 A，其迹为：
$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \dots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$
方法很简单：沿着对角线逐一相加每个元素即可。最终得到的是一个标量（单个数值）。
实例演示
设一个 3×3 矩阵，其对角线元素分别为 4、−2 和 7（非对角线上的数值可以是任意值）。那么 $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = 9.$$ 就是这么简单——无论矩阵中其他元素是什么，这个矩阵的迹都是 9。
常见问题
非方阵也能求迹吗？不行。迹只对方阵有定义，因为对角线元素 \(\text{A}_{ii}\) 要求行数与列数相等。
迹有什么用？迹等于矩阵所有特征值之和，在相似变换下保持不变，并广泛出现在统计学、物理学和机器学习等领域。
\(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\) 成立吗？成立——迹具有线性性质，因此两个矩阵之和的迹等于它们各自迹的和；并且对任意标量 \(c\)，都有 \(\operatorname{tr}(cA) = c\cdot\operatorname{tr}(A)\)。
