이 계산기의 기능
지수분포를 다루는 순수 통계·수학 도구입니다. 누적확률과 척도모수 b가 주어졌을 때 백분위점(분위수 또는 역누적분포함수, inverse CDF라고도 부릅니다) x를 구해 줍니다. 지수분포는 일정한 평균 발생률로 독립적으로 일어나는 사건 사이의 대기 시간을 모델링하는 데 쓰이는 보편적인 분포이므로, 이 계산기는 국가나 분야에 관계없이 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
먼저 누적 모드를 선택합니다. 입력하는 확률이 하측 확률 P(즉 x 왼쪽 영역의 넓이)라면 하측 누적확률 P를, 상측 확률 Q(x 오른쪽 영역의 넓이)라면 상측 누적확률 Q를 고르세요. 그다음 0과 1 사이의 확률 값을 입력하고, 반드시 양수여야 하는 척도모수 b를 입력합니다. 척도 b는 분포의 평균과 같으며 \(b = 1/\lambda\) 관계가 성립합니다. 결과 x는 b와 동일한 단위로 표시됩니다.
공식 설명
지수분포의 확률밀도함수는 \(x \ge 0\)에 대해 \(f(x) = (1/b)\cdot\exp(-x/b)\)입니다. 하측 누적함수는 \(P(x) = 1 - \exp(-x/b)\)이고, 상측 누적함수는 \(Q(x) = \exp(-x/b)\)입니다. 이들을 역으로 풀면 백분위점이 나옵니다. 하측 모드에서는 $$x = -b\cdot\ln(1 - P),$$ 상측 모드에서는 $$x = -b\cdot\ln(Q)$$가 됩니다. 두 경우 모두 상측 확률 Q를 기준으로 하면 \(x = -b\cdot\ln(Q)\) 하나로 정리되며, 여기서 ln은 자연로그(밑이 e)입니다.
계산 예시
누적 모드가 하측이고 확률 P = 0.4, 척도 b = 1이라고 합시다. 그러면 $$x = -1\cdot\ln(1 - 0.4) = -\ln(0.6) = 0.51083$$입니다. 검산해 보면 \(P(0.51083) = 1 - \exp(-0.51083) = 1 - 0.6 = 0.4\)로 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
척도모수 b란 무엇인가요? 분포의 평균을 뜻하며 \(b = 1/\lambda\)로, 여기서 \(\lambda\)는 발생률(rate)입니다. b가 클수록 사건이 일어나기까지 평균적으로 더 오래 걸린다는 의미입니다.
결과가 무한대로 나올 수 있는 이유는? 하측 모드에서 P = 1(또는 상측 모드에서 Q = 0)은 분포의 꼬리 전체를 가리키므로 x가 무한대로 발산합니다. 이런 경우 계산기는 숫자를 반환하는 대신 해당 상황을 안내합니다.
하측 모드와 상측 모드 중 어느 것을 선택해야 하나요? x까지의 누적확률(예: 중앙값 같은 백분위수)을 알고 있다면 하측 모드를, x를 넘어서는 생존확률이나 초과확률을 알고 있다면 상측 모드를 사용하세요.
