負の二項分布とは
負の二項分布は、成功確率が p である独立なベルヌーイ試行を繰り返すとき、k 回目の成功が出るまでに起こる失敗回数 x をモデル化した確率分布です。本計算機は「k 回目の成功までの失敗回数」というパラメータ化を採用しており、確率変数は x = 0, 1, 2, … の値をとります。確率密度 f、下側累積確率 P、上側（生存）確率 Q のいずれかを求め、選んだ関数を x の範囲にわたって表形式で一覧表示します。
使い方
まず計算する関数を選びます。f（確率密度）、P（下側累積確率）、Q（上側累積確率）のいずれかです。次に、必要な成功回数 k（正の整数）、1 回あたりの成功確率 p（0 から 1 の値）、x の開始値、各行の刻み幅、生成する行数を入力します。表には各 x とそれに対応する確率が並び、あわせて失敗回数の平均と分散も表示されます。
計算式の解説
確率密度関数は $$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$ で、C は二項係数です。下側累積分布は $$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ で表されます。上側累積（生存）関数は $$Q(x,k,p) = 1 - \sum_{t=0}^{x-1} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ で、これは \(t \ge x\) となるすべての \(f(t)\) の総和に等しくなります。失敗回数の平均は \(\frac{k(1-p)}{p}\)、分散は \(\frac{k(1-p)}{p^{2}}\) です。
計算例
k = 4、p = 0.4 のとき、f(x=2) を求めてみます。\(\binom{5}{2} = 10\)、\(p^{4} = 0.0256\)、\((0.6)^{2} = 0.36\) なので、$$f = 10 \times 0.0256 \times 0.36 = 0.09216$$ となります。下側累積確率は $$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0256 + 0.06144 + 0.09216 = 0.1792$$ 上側確率は $$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0.0256 + 0.06144) = 0.91296$$ です。
よくある質問
x は成功回数ですか、それとも失敗回数ですか。 ここでの x は、k 回目の成功までに起こる「失敗回数」を表します。総試行回数は x + k となります。
p = 1 のときはどうなりますか。 失敗は起こり得ないため、\(f(0) = 1\) となり、\(x > 0\) では \(f(x) = 0\) になります。
p = 0 のときはどうなりますか。 分布は退化し（期待される失敗回数は無限大になり）、有限のすべての x について \(f(x) = 0\) となります。
