ऋणात्मक द्विपद वितरण क्या है?
ऋणात्मक द्विपद वितरण (Negative Binomial Distribution) उन असफलताओं की संख्या x को दर्शाता है जो स्वतंत्र बर्नूली परीक्षणों की एक श्रृंखला में k-वीं सफलता से पहले घटित होती हैं, जहाँ प्रत्येक परीक्षण p प्रायिकता के साथ सफल होता है। यह कैलकुलेटर "k-वीं सफलता से पहले असफलताओं की संख्या" वाली पैरामीटराइज़ेशन का उपयोग करता है, इसलिए यादृच्छिक चर के मान x = 0, 1, 2, ... होते हैं। यह प्रायिकता द्रव्यमान f, निम्न संचयी प्रायिकता P, या उच्च (सर्वाइवल) प्रायिकता Q देता है, और चुने गए फलन को x के मानों की एक श्रेणी पर तालिका के रूप में प्रस्तुत करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि किस फलन की गणना करनी है: f (प्रायिकता द्रव्यमान), P (निम्न संचयी), या Q (उच्च संचयी)। फिर आवश्यक सफलताओं की संख्या k (एक धनात्मक पूर्णांक), प्रति परीक्षण सफलता प्रायिकता p (0 और 1 के बीच), x का प्रारंभिक मान, पंक्तियों के बीच का अंतराल (step), और कितनी पंक्तियाँ बनानी हैं — ये सब दर्ज करें। तालिका में प्रत्येक x और उससे संबंधित प्रायिकता दिखाई जाती है; साथ ही असफलताओं की संख्या का माध्य (mean) और प्रसरण (variance) भी प्रदर्शित होता है।
सूत्र की व्याख्या
प्रायिकता द्रव्यमान फलन है
$$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$जहाँ \(C\) द्विपद गुणांक है। निम्न संचयी वितरण है
$$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$उच्च संचयी (सर्वाइवल) फलन है
$$Q(x,k,p) = 1 - P(x-1,k,p)$$जो सभी \(t \ge x\) के लिए \(f(t)\) के योग के बराबर होता है। असफलताओं की औसत संख्या \(\frac{k(1-p)}{p}\) है और प्रसरण \(\frac{k(1-p)}{p^{2}}\) है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(k = 4\), \(p = 0.4\), तो \(f(x=2)\) निकालें: \(\binom{5}{2} = 10\), \(p^{4} = 0.0256\), \((0.6)^{2} = 0.36\), अतः
$$f = 10 \times 0.0256 \times 0.36 = 0.09216$$निम्न संचयी
$$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0256 + 0.06144 + 0.09216 = 0.1792$$सर्वाइवल
$$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0.0256 + 0.06144) = 0.91296$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या x सफलताओं को गिनता है या असफलताओं को? यहाँ x, k-वीं सफलता से पहले की असफलताओं को गिनता है। कुल परीक्षण x + k होंगे।
यदि p = 1 हो तो क्या होगा? तब कोई असफलता संभव नहीं है, इसलिए \(f(0) = 1\) और \(x > 0\) के लिए \(f(x) = 0\) होगा।
यदि p = 0 हो तो क्या होगा? तब वितरण अपह्रासी (degenerate) हो जाता है (अनंत असफलताओं की अपेक्षा होती है), और प्रत्येक परिमित \(x\) के लिए \(f(x) = 0\) होता है।
