¿Qué es la calculadora de forma canónica?
Esta herramienta transforma una ecuación cuadrática escrita en forma estándar, \(y = ax^2 + bx + c\), en su forma canónica (también llamada forma de vértice), \(y = a(x - h)^2 + k\). Esta forma muestra de inmediato el punto de inflexión (el vértice) de la parábola y su eje de simetría, algo muy práctico para representar funciones, resolver problemas de optimización y encontrar valores máximos o mínimos.
Cómo usarla
Introduce los tres coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) de tu ecuación cuadrática. La calculadora obtiene las coordenadas del vértice, \(h\) y \(k\), y reescribe la ecuación en forma canónica. El valor de \(a\) se mantiene tal cual, ya que determina la abertura de la parábola y si esta abre hacia arriba (\(a > 0\)) o hacia abajo (\(a < 0\)).
La fórmula al detalle
Al completar el cuadrado en \(y = ax^2 + bx + c\) obtenemos \(y = a(x - h)^2 + k\). El desplazamiento horizontal es \(h = -b / (2a)\), la misma expresión que define el eje de simetría. La posición vertical es \(k = c - b^2 / (4a)\). Si sustituimos \(h\) en la ecuación original, llegamos exactamente al mismo \(k\), de modo que el vértice es justo \((h, k)\).
$$y = a\,(x - h)^2 + k \\[1.5em] \text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{b}{2\,a} \\ k &= c - \dfrac{b^2}{4\,a} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(y = x^2 - 4x + 3\), donde \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Entonces $$h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ y $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ La forma canónica resulta \(y = (x - 2)^2 - 1\), con el vértice en \((2, -1)\).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si \(a = 0\)? En ese caso la ecuación es lineal, no cuadrática, y no tiene vértice: introduce un valor distinto de cero para \(a\).
¿Es \(h\) el eje de simetría? Sí. La recta vertical \(x = h\) es el eje de simetría de la parábola.
¿Puede \(a\) ser negativo? Por supuesto. Un valor de \(a\) negativo indica que la parábola abre hacia abajo y que el vértice es un punto máximo.
