벡터 덧셈이란?
벡터 덧셈은 두 벡터를 하나의 합성 벡터로 합치는 연산입니다. 방법은 간단합니다. x 성분끼리, y 성분끼리, z 성분끼리 각각 더해 주면 됩니다. 기하학적으로는 '머리-꼬리(head-to-tail) 법칙'으로 설명할 수 있는데요, 벡터 B의 꼬리를 벡터 A의 머리에 붙이면, 합성 벡터는 A의 꼬리에서 B의 머리까지 이어집니다. 이 계산기는 2D 벡터(z 값을 0으로 두면 됩니다)와 완전한 3D 벡터를 모두 지원합니다.
계산기 사용법
벡터 A와 벡터 B의 x, y 그리고 (필요하다면) z 성분을 입력한 뒤 합성 벡터 결과를 확인하세요. 이 도구는 A + B의 각 성분과 합성 벡터의 전체 크기(길이)를 알려 줍니다. 2D 문제라면 z 칸을 0으로 두기만 하면 됩니다.
공식 풀이
각 성분 \(i\)에 대해 합성 벡터는 \((a + b)_i = a_i + b_i\)를 만족합니다. 풀어 쓰면 합성 벡터는 다음과 같습니다.
$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = \left( \text{A}_x + \text{B}_x,\ \text{A}_y + \text{B}_y,\ \text{A}_z + \text{B}_z \right)$$크기는 유클리드 노름으로 구하는데, 각 성분을 제곱해 모두 더한 값의 제곱근입니다.
$$\left| \vec{R} \right| = \sqrt{ \left( \text{A}_x + \text{B}_x \right)^2 + \left( \text{A}_y + \text{B}_y \right)^2 + \left( \text{A}_z + \text{B}_z \right)^2 }$$
예제 풀이
\(A = (3, 4, 0)\)과 \(B = (1, 2, 0)\)을 더해 봅시다. 성분별로 계산하면 \(x = 3 + 1 = 4\), \(y = 4 + 2 = 6\), \(z = 0 + 0 = 0\)이므로 \(A + B = (4, 6, 0)\)입니다. 크기는 다음과 같습니다.
$$\sqrt{4^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.2111$$자주 묻는 질문
차원이 다른 벡터끼리 더할 수 있나요? 2D 벡터는 \(z = 0\)인 3D 벡터로 보면 됩니다. 덧셈은 두 벡터의 성분 개수가 같을 때만 정의됩니다.
벡터 덧셈은 교환법칙이 성립하나요? 네, \(A + B = B + A\)가 성립합니다. 각 성분의 실수 덧셈이 교환법칙을 따르기 때문입니다.
크기는 무엇을 의미하나요? 합성 벡터 화살표의 길이를 뜻합니다. 물리학에서 힘, 속도, 변위를 합칠 때 유용하게 쓰입니다.
