Что такое распределение Рэлея?
Распределение Рэлея — это непрерывное распределение вероятностей для неотрицательных значений, которое задаётся единственным масштабным параметром σ (сигма). Оно естественным образом возникает как длина двумерного вектора, компоненты которого — независимые нормальные случайные величины с нулевым средним и одинаковой дисперсией. Распределение Рэлея широко применяется в обработке сигналов (моделирование замираний в радиоканалах), при анализе скорости ветра, описании шума на МРТ-снимках и в теории надёжности.
Как пользоваться калькулятором
Введите значение x, в котором нужно вычислить плотность и накопленную вероятность, а также масштабный параметр σ. Калькулятор вернёт плотность \(f(x)\), функцию распределения \(F(x)\), а также среднее, дисперсию, медиану и моду. И x, и σ должны быть неотрицательными, причём σ обязательно больше нуля.
Разбор формул
Плотность вероятности равна $$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$ при \(x \ge 0\). Функция распределения: $$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$ Основные числовые характеристики: $$\begin{aligned} \mu &= \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \\[0.4em] \sigma_{x}^{2} &= \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2} \\[0.4em] \text{Mode} &= \sigma \\[0.4em] \text{Median} &= \sigma\sqrt{2\ln 2} \end{aligned}$$ Обратите внимание, что мода в точности равна σ — пик плотности всегда находится в точке \(x = \sigma\).
Пример расчёта
Пусть \(\sigma = 1\) и \(x = 2\). Тогда \(\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{4}{2} = 2\), значит \(e^{-2} \approx 0{,}135335\). Плотность равна \(\frac{2}{1} \cdot 0{,}135335 = 0{,}270671\). Функция распределения: \(1 - 0{,}135335 = 0{,}864665\). Среднее составляет \(\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}253314\), дисперсия — \(\frac{4-\pi}{2} \approx 0{,}429204\), медиана — \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1{,}177410\), а мода равна 1.
Частые вопросы
Определено ли распределение Рэлея для отрицательных x? Нет. Оно задано только при \(x \ge 0\); для отрицательных значений плотность равна нулю.
Как σ связан со средним? Среднее линейно зависит от σ: \(\mu = \sigma\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}2533\,\sigma\).
Как распределение Рэлея связано с нормальным? Если X и Y — независимые величины \(N(0, \sigma^{2})\), то \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) подчиняется распределению Рэлея с масштабным параметром σ.
