Phân phối Rayleigh là gì?
Phân phối Rayleigh là một phân phối xác suất liên tục dành cho các giá trị không âm, được xác định bởi một tham số tỷ lệ duy nhất \(\sigma\) (sigma). Nó xuất hiện tự nhiên dưới dạng độ lớn của một vectơ hai chiều, trong đó các thành phần là những biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập, có kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng nhau. Phân phối này được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu (kênh truyền fading), mô hình hóa tốc độ gió, phân tích nhiễu trong ảnh MRI và kỹ thuật độ tin cậy.
Cách sử dụng máy tính
Nhập giá trị x mà bạn muốn tính mật độ và xác suất tích lũy, cùng với tham số tỷ lệ \(\sigma\). Máy tính sẽ trả về hàm mật độ PDF \(f(x)\), hàm phân phối CDF \(F(x)\), cũng như trung bình, phương sai, trung vị và mode của phân phối. Cả \(x\) và \(\sigma\) đều phải không âm, và \(\sigma\) phải lớn hơn 0.
Giải thích các công thức
Hàm mật độ xác suất là
$$f(x) = \frac{x}{\sigma^{2}}\, \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$với \(x \ge 0\). Hàm phân phối tích lũy là
$$F(x) = 1 - \exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right)$$Các đại lượng thống kê tóm tắt quan trọng gồm:
$$\begin{aligned} \mu &= \sigma\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \\[0.4em] \sigma_{x}^{2} &= \frac{4-\pi}{2}\,\sigma^{2} \\[0.4em] \text{Mode} &= \sigma \\[0.4em] \text{Median} &= \sigma\sqrt{2\ln 2} \end{aligned}$$Lưu ý rằng mode đúng bằng \(\sigma\) — đỉnh của hàm mật độ luôn nằm tại \(x = \sigma\).
Ví dụ minh họa
Giả sử \(\sigma = 1\) và \(x = 2\). Khi đó \(x^{2}/(2\sigma^{2}) = 4/2 = 2\), nên \(e^{-2} \approx 0{,}135335\). Hàm PDF là
$$\frac{2}{1}\cdot 0{,}135335 = 0{,}270671$$Hàm CDF là
$$1 - 0{,}135335 = 0{,}864665$$Trung bình là \(\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}253314\), phương sai là \((4-\pi)/2 \approx 0{,}429204\), trung vị là \(\sqrt{2\ln 2} \approx 1{,}177410\), và mode là 1.
Câu hỏi thường gặp
Phân phối Rayleigh có xác định với x âm không? Không. Nó chỉ tồn tại trên miền \(x \ge 0\); mật độ bằng 0 với mọi giá trị âm.
\(\sigma\) liên hệ với trung bình như thế nào? Trung bình tỷ lệ tuyến tính với \(\sigma\): \(\mu = \sigma\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}2533\,\sigma\).
Mối liên hệ với phân phối chuẩn là gì? Nếu \(X\) và \(Y\) là hai biến độc lập tuân theo \(N(0, \sigma^{2})\), thì \(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\) sẽ tuân theo phân phối Rayleigh với tham số tỷ lệ \(\sigma\).
