ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تصف هذه الأداة التوزيع المعايني لنسبة العينة (p̂). فعندما تسحب عيّنات عشوائية متكررة بحجم n من مجتمع إحصائي تبلغ نسبته الحقيقية p، تكوّن نسب العينات الناتجة توزيعاً خاصاً بها. تعطيك هذه الحاسبة متوسط هذا التوزيع وخطأه المعياري، حتى تتمكن من بناء فترات الثقة، أو إجراء اختبارات الفرضيات، أو تقدير مدى التباين الناتج عن أخذ العينات.
طريقة الاستخدام
أدخل نسبة المجتمع p كقيمة عشرية بين 0 و1 (مثلاً 0.4 للدلالة على 40%)، ثم أدخل حجم العينة n. تعرض الحاسبة على الفور المتوسط (الذي يساوي p)، والتباين، والخطأ المعياري (SE) للتوزيع المعايني.
شرح المعادلة
يساوي متوسط التوزيع المعايني نسبة المجتمع نفسها: \(\mu_{\hat{p}} = \text{p}\). أما الخطأ المعياري فيقيس مدى تباين نسب العينات حول p، ويُحسب بالعلاقة $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\text{p}\,(1 - \text{p})}{\text{n}}}$$ وكلما كبر حجم العينة، صغر الخطأ المعياري، فيصبح تقديرك أكثر دقة. ووفقاً لنظرية النهاية المركزية، يقترب التوزيع من الشكل الطبيعي عندما يتحقق الشرطان معاً: \(\text{np} \geq 10\) و\(\text{n}(1-\text{p}) \geq 10\).
مثال محلول
لنفترض أن \(\text{p} = 0.5\) وأن \(\text{n} = 100\). يكون المتوسط حينها 0.5، والتباين يساوي $$0.5 \times 0.5 \div 100 = 0.0025$$ والخطأ المعياري هو $$\sqrt{0.0025} = 0.05$$ أي أن نسب العينات تقع عادةً في حدود ±0.05 تقريباً حول القيمة 0.5.
الأسئلة الشائعة
لماذا يساوي المتوسط القيمة p؟ لأن نسبة العينة هي مقدّر غير متحيّز لنسبة المجتمع، فهي تصيب القيمة الحقيقية في المتوسط.
ماذا يحدث عندما يكبر حجم العينة n؟ يتناقص الخطأ المعياري بنسبة \(1/\sqrt{\text{n}}\)، ولذلك تصبح التقديرات أكثر دقة كلما كبرت العينات.
متى يكون التقريب الطبيعي صالحاً؟ القاعدة الشائعة هي أن يتحقق \(\text{np} \geq 10\) و\(\text{n}(1-\text{p}) \geq 10\)؛ وإذا لم يتحقق ذلك فيُفضّل استخدام طرق ذات الحدين الدقيقة.
