이 계산기의 기능
이 도구는 표본비율(p̂)의 표본분포를 설명해 줍니다. 실제 비율이 p인 모집단에서 크기 n의 무작위 표본을 반복해서 뽑으면, 그때마다 얻은 표본비율들이 모여 하나의 분포를 이룹니다. 이 계산기는 그 분포의 평균과 표준오차를 알려 주므로 신뢰구간을 구하거나, 가설검정을 수행하거나, 표본 변동성을 평가할 때 활용할 수 있습니다.
사용 방법
모비율 p를 0과 1 사이의 소수로 입력하세요(예: 40%라면 0.4). 그다음 표본 크기 n을 입력합니다. 계산기는 표본분포의 평균(곧 p와 같습니다), 분산, 그리고 표준오차(SE)를 즉시 출력합니다.
공식 설명
표본분포의 평균은 모비율과 같습니다: $$\mu_{\hat{p}} = \text{p}$$ 표준오차는 표본비율이 p를 중심으로 얼마나 흩어지는지를 나타내며 $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\text{p}\,(1 - \text{p})}{\text{n}}}$$로 구합니다. 표본이 커질수록 표준오차는 작아지고, 추정값은 더 정밀해집니다. 중심극한정리에 따라 \(np \ge 10\)이고 \(n(1-p) \ge 10\)일 때 이 분포는 근사적으로 정규분포를 따릅니다.
계산 예시
p = 0.5, n = 100이라고 가정해 봅시다. 평균은 0.5입니다. 분산은 $$0.5 \times 0.5 / 100 = 0.0025$$이고, 표준오차는 \(\sqrt{0.0025} = 0.05\)입니다. 따라서 표본비율은 대체로 0.5에서 약 ±0.05 범위 안에 들어옵니다.
자주 묻는 질문
왜 평균이 p와 같나요? 표본비율은 모비율의 불편추정량이기 때문입니다. 즉 평균적으로 참값을 정확히 맞춥니다.
n이 커지면 어떻게 되나요? 표준오차가 \(1/\sqrt{n}\)에 비례해 감소하므로, 표본이 클수록 추정이 더 정밀해집니다.
정규근사는 언제 유효한가요? 흔히 쓰는 기준은 \(np \ge 10\)이고 \(n(1-p) \ge 10\)입니다. 이 조건을 충족하지 못하면 정확한 이항분포 방법을 고려하세요.
